2012高考数学复习第四章三角函数4-5试题

第四章第五讲时间：60分钟满分：100分[来源:学_科_网]一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·北京海淀)函数f(x)＝sin(π4－x)的一个单调增区间为()A．(3π4，7π4)B．(－π4，3π4)C．(－π2，π2)D．(－3π4，π4)答案：A解析：f(x)＝sin(π4－x)＝－sin(x－π4)，因为sin(x－π4)的单调递减区间为(3π4＋2kπ，7π4＋2kπ)，k∈Z，所以y＝sin(π4－x)的一个单调递增区间为(3π4，7π4)．2．(2010·唐山市高三摸底考试)函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数答案：D解析：由f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝12(2sinxcosx)2＝12sin22x＝12×1－cos4x2＝14－14cos4x，T＝2π4＝π2，且f(x)＝f(－x)是偶函数，故选D.3．(2009·四川，4)已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误．．的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案：D解析：∵y＝sin(x－π2)＝－cosx，但y＝－cosx为偶函数，故选D.∴T＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y轴对称．故选D.4．(2009·江西，4)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.3π2C．πD.π2答案：A解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，T＝2π|w|＝2π，故选A.5．(2009·天津，7)已知函数f(x)＝sin(wx＋π4)(x∈R，w＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()A.π2B.3π8C.π4D.π8答案：D解析：∵2πw＝π，∴w＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4)，将它向左平移|φ|个单位长度，得f(x)＝sin[2(x＋|φ|)＋π4]，∵它的图象关于y轴对称，∴2(0＋|φ|)＋π4＝π2＋kπ，k∈Z.∴φ＝π8＋kπ2，k∈Z，∴φ的一个值是π8，故选D.6．(2009·湖南株洲)若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝π3对称；(3)在区间[－π6，π3]上是增函数，则()A．y＝sin(x2＋π6)B．y＝cos(2x＋π3)C．y＝cos(2x－π6)D．y＝sin(2x－π6)答案：D解析：由y＝sin(wx＋φ)的图象性质可知y＝sin(2x－π6)满足题中三个性质．7．已知函数y＝sinwx在[－π3，π3]上是减函数，则w的取值范围是()A．[－32，0)B．[－3,0)C．(0，32]D．(0,3]答案：A解析：由题意可得w0，且有－π3w≤π2，π3w≥－π2，解之得w∈[－32，0)．选A.8．若函数f(x)＝sinwx＋3coswx，x∈R，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于3π4，则正数w的值为()A.13B.23C.43D.32答案：B解析：由于f(x)＝sinwx＋3coswx＝2sin(wx＋π3)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，所以x＝α是函数图象的一条对称轴，(β，0)是函数图象的一个对称中心，故|α－β|的最小值应等于T4，其中T是函数的最小正周期，于是有14·2πw＝3π4，故w＝23.总结评述：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题中注意利用重要结论：正弦函数图象的对称轴都通过函数的最值点；正弦函数的任意一个对称中心和其相邻的一条对称轴之间的距离最小值等于T4(其中T是函数的周期)．二、填空题(4×5＝20分)9．函数f(x)＝cos2x－23sinxcosx的最小正周期是________．答案：π解析：f(x)＝cos2x－3sin2x＝2cos(2x＋π3)，故f(x)的最小正周期为2π2＝π.10．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)为偶函数，则常数θ的值为__________．答案：kπ－π6(k∈Z)解析：依题意，f(－x)＝f(x)恒成立，所以sin(－x＋θ)＋3cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)．即sin(θ－x)－sin(x＋θ)＝3cos(x－θ)－3cos(x＋θ)成立．所以sinθcosx－cosθsinx－sinxcosθ－cosxsinθ＝3(cosxcosθ＋sinxsinθ－cosxcosθ＋sinxsinθ)，所以2cosθsinx＋23sinxsinθ＝0对任意x成立，又sinx≠0，所以cosθ＋3sinθ＝0，tanθ＝－33，所以θ＝kπ－π6(k∈Z)．11．(2009·江苏丹阳高级中学一模)给出下列四个命题，其中不正确的序号是________．①若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ，k∈Z；②函数y＝2cos(2x＋π3)的图象关于x＝π12对称；③函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数；④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.答案：①②④解析：对于①，若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ或α＋β＝2kπ或k∈Z，①不正确；对于②，函数y＝2cos(2x＋π3)的图象关于直线2x＋π3＝kπ，k∈Z对称，即x＝kπ2－π6，k∈Z，当k＝1时对称轴为x＝π3，②不正确；对于④，sin|－π3|＝sinπ3＝32，sin|－π3＋2π|＝sin5π3＝－32，故④不正确．12．已知f(x)＝sin(wx＋π3)(w＞0)，f(π6)＝f(π3)，且f(x)在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则w＝____.答案：143解析：由题意知x＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且w×π4＋π3＝2kπ－π2(k∈Z)．得w＝8k－103(k∈Z)①又π3－π6≤2πw(w＞0)，∴0＜w＜12.②由①②得k＝1，w＝143，故填143.三、解答题(4×10＝40分)13．已知函数f(x)＝sin(2x＋π6)＋sin(2x－π6)＋cos2x＋a(a∈R，a为常数)．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递减区间；(3)若x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．[来源:学*科*网]解析：(1)f(x)＝2sin2xcosπ6＋cos2x＋a＝3sin2x＋cos2x＋a＝2sin(2x＋π6)＋a，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，故所求区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．(3)当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，∴x＝π2时，f(x)取得最小值．∴2sin(2·π2＋π6)＋a＝－2.∴a＝－1.14．(2009·河南六市一模)已知函数f(x)＝sin(wx＋φ)(w＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和w的值．解析：∵f(x)是R上的偶函数，且0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f(x)＝sin(wx＋π2)＝coswx.又∵图象关于点(3π4，0)对称，∴f(3π4)＝0.即cos3π4w＝0，3π4w＝kπ＋π2，k∈Z，又f(x)在[0，π2]上是单调函数，∴w＝43k＋23，k∈Z.∴π2w≤π，∵w＞0，∴0＜w≤2，[来源:Zxxk.Com]即0＜43k＋23≤2，∴－12＜k≤1，k∈Z.∴k＝0或k＝1，∴w＝23或w＝2.15．(2009·重庆，16)设函数f(x)＝(sinwx＋coswx)2＋2cos2wx(w＞0)的最小正周期为2π3.(1)求w的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到的．求y＝g(x)的单调增区间．解析：(1)f(x)＝sin2wx＋cos2wx＋2sinwxcoswx＋1＋cos2wx＝sin2wx＋cos2wx＋2＝2sin(2wx＋π4)＋2，依题意得2π2w＝2π3，故w＝32.(2)依题意得g(x)＝2sin[3(x－π2)＋π4]＋2＝2sin(3x－5π4)＋2.由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．故g(x)的单调增区间为[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k∈Z)．16．(2009·重庆，19)设函数f(x)＝sin(π4x－π6)－2cos2π8x＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，43]时，y＝g(x)的最大值．解析：(1)由f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x＝32sinπ4x－32cosπ4x＝3sin(π4x－π3)，故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π3]＝3sin(π2－π4x－π3)＝3cos(π4x＋π3)．当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，因此[来源:学科网ZXXK]y＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为g(x)max＝3cosπ3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x＝1的对称区间为[23，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在[0，43]上的最大值即为y＝f(x)在[23，2]上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin(π4x－π3)，[来源:Z。xx。k.Com]当23≤x≤2时，－π6≤π4x－π3≤π6.因此y＝g(x)在[0，43]上的最大值为g(x)max＝3sinπ6＝32.