2012高考数学考点总动员+考点5+掌握类型,巧妙构造,解决棘手的数列的问题新课标版

掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列的问题高频考点解读考点一等差数列的性质和应用例1等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.例2设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.例3已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．考点二等比数列的性质和应用例4在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.例5已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．例7已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋…＋1a2n与1a1的大小．【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．考点四求数列的通项公式例8已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．例9在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法：1、利用转化，解决递推公式为nS与na的关系式：数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥.通过纽带：12)nnnaSSn（，根据题目求解特点，消掉一个nnaS或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉nS，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉na，只需把1nnnaSS带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1nnnaSS成立的条件2.n由递推关系求数列的通项公式2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式：此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()nnaafn用累加法；递推关系为1()nnafna用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1nnaa、1nnaa结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(n个式子，不要误认为n个.3.利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.考点五等差等比数列的定义以及应用例10(1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a的值；(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．例11已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－n－12，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n≤n－13(n∈N*)．【解题技巧点睛】判断某个数列是否为等差(或等比)数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)公式.注意只要其中的一项不符合,就不能为等差(或等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等比)数列,只需看前三项即可.考点六数列的前n项和例12若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15例13[2011·辽宁卷]已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．例13等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．【解题技巧点睛】在数列求和问题中，通法是“特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.（1）：....nnnbaC，数列{}nC的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.（2）：nnnCab，数列{}nC的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.（3）：1nnnCab，数列{}nC的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.（4）：nnnnCCa，数列{}nC的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.考点七数列的综合问题例14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．例16已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为Sn，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)记An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn，Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较An与Bn的大小．【解题技巧点睛】1.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．2.与数列有关的不等式证明有哪些方法：与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩.考点六数列的实际应用例17植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返．．所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．例18某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．【解题技巧点睛】解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关．)针对训练1.在等差数列15946{},,tan()4naaaaaa中若则=（）A．33B．3C．1D．—12.等差数列na的前n项和24713,,42nSaS，10a（）A.12B.12C.14D.14所以101194aad.在等差数列811162naaa中，，则数列前9项之和9S等于（）A．24B．48C．72D．1085.已知nS为等差数列{}na的前n项的和，254,aa，721S，则7a的值为（）A．6B．7C．8D．96.已知等比数列{}na的公比为正数，且257424,1aaaa，则1a=()A．12B．22C．2D．27.在各项均为正数的数列na中，对任意,mnN都有mnmnaaa．若664a，则9a等于（）A．256B．510C．512D．10248.已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）[(A).-110(B).-90(C).90(D).110