2012高考总复习《走向清华北大》精品6

1第六讲函数的单调性与最大(小)值班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝3x2＋1C．y＝2xD．y＝|x|解析：由函数单调性定义知选C.答案：C2．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x0D．y＝ex，x≥0，e－x，x0解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x0在(－2,0)上为增函数，y＝ex，x≥0，e－x，x0在(－2,0)上为减函数．故选C.答案：C3．(精选考题·北京)给定函数①y＝x12；②y＝log12(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()2A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝log12x向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.答案：B4．已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0.若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，x≥0，4x－x2＝－(x－2)2＋4，x0，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，即a2＋a－20，解得－2a1.故选C.答案：C5．(精选考题·抚顺六校第二次模拟)f(x)＝ax(x1)4－a2x＋2(x≤1)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)解析：因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得a1，4－a20，a≥4－a2＋2.解得4≤a8，故选B.答案：B6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x2时，f(x)单调递增，如果x1＋x24，且(x1－2)(x2－2)0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负3解析：因为(x1－2)(x2－2)0，若x1x2，则有x12x2，即2x24－x1，又当x2时，f(x)单调递增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)f(4－x1)＝－f(x1)，f(x1)＋f(x2)0；若x2x1，同理有f(x1)＋f(x2)0，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若函数f(x)＝|logax|(0a1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0a3a－1≤1，解得12a≤23，此即为a的取值范围．答案：12a≤238．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a＝________.解析：先判断函数的单调性，然后利用单调性可得最值．由于a是底数，要注意分情况讨论．若a1，则f(x)为增函数，所以f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1，解得a＝12(舍去)．若0a1，则f(x)为减函数，所以f(x)min＝a＋loga2，f(x)max＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，于是a＝12，故填12.答案：129．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)x2－x1；②x2f(x1)x1f(x2)；③f(x1)＋f(x2)2fx1＋x22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)4解析：由f(x2)－f(x1)x2－x1，可得f(x2)－f(x1)x2－x11，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)x1f(x2)得f(x1)x1f(x2)x2，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案：②③10．已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．(1)若a0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当a0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3a，即此时函数f(x)的定义域是－∞，3a；(2)当a－10，即a1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1a≤3.当a－10，即a1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a0，此时a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)－∞，3a(2)(－∞，0)∪(1,3]三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．解：f(x)＝ax＋1x＋2＝a(x＋2)＋1－2ax＋2＝1－2ax＋2＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2).∵函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)0.∵x2－x10，x1＋20，x2＋20，∴1－2a0，a12.即实数a的取值范围是12，＋∞.评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，5做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．解法二：设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；6(2)求f(x)的最大值；(3)若对于任意x∈[0,1)，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a的取值范围．解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)设0≤x1x2≤1，则x2－x1∈(0,1)，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0.即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.(3)因f(x)在[0,1]上是增函数，则f(x)∈[0,1]，又4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0⇒a≤4f2(x)－8f(x)＋54－4f(x)对x∈[0,1)恒成立，设y＝4f2(x)－8f(x)＋54－4f(x)＝1－f(x)＋14[1－f(x)]≥1，则a≤1.7