2013《运筹学》考试题及其答案

12012-2013学年第1学期《运筹学》考试题答案要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。一、考虑下面线性规划问题0,3322634133..4min2121212121xxxxxxxxtsxxz）（）（）（（1）用图解法求解该问题；（2）写出该问题的标准形式；（3）求出该问题的松弛变量和剩余变量的值；（4）用单纯形法求解。【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的可行域,目标函数214xxz,即zxx124是斜率为4的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线214xxz沿其法线方向逐渐向上平移,直至A点,A点的坐标为(56,53),所以51856534minz此线性规划问题有唯一解565321xx，。(2)给等式（2）左端添加剩余变量3x，给等式（3）左端添加松弛变量4x，则得到该问题的标准型为：0,,,3,322,6341,33..004max4321421321214321xxxxxxxxxxxxtsxxxxz）（）（）（（3）在上面标准型中令565321xx，，得到剩余变量3x=0，松弛变量4x=0。（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量5x,6x，得到如下数学模型，20,,,,,3,322,6341,33..004max6543214216321521654321xxxxxxxxxxxxxxxxtsMxMxxxxxz）（）（）（由此列出单纯形表逐步迭代，用大M法求解计算结果如下表所示。－4－100－M－M1x2x3x4x5x6xbi－M5x【3】1001031－M6x43－100163/204x12010033rj7M－44M－1－M000－9M－41x11/3001/3013－M6x0【5/3】－10－4/3126/504x05/301－1/3026/5rj(-z)0(5M+1)/3－M0(－7M+4)/30－4-2M－41x101/503/5－1/53/51/3－12x01－3/50－4/53/56/5－04x00【1】11100rj(-z)001/50－M+8/5－M-1/5－18/5－41x100－1/52/503/5－12x0103/5－1/506/503x00111－10rj(-z)000－1/5－M+7/5－M－18/5表中所有检验数rj0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解T)0,0,0,0,56,53(X，目标函数的最优值51856534maxz。二、试用表上作业法求解下列运输问题的最优解。产地销地B1B2B3B4产量A148846A295634CjxjXBCB3A33114212销量6277【解答】：显然该问题是一个供需平衡问题，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。B1B2B3B4产量A1648846A29256234A30311745212销量6277用位势法求出各非基变量（即空格）的检验数，如下表所示。B1B2B3B4iuA164(3)8(3)8(1)41u=0A2(5)925(1)6232u=0A303(7)1174523u=－1jv1v=42v=53v=54v3因为所有非基变量的检验数均为非负的，故表中的解为最优解。按照此种方案调运，最小费用为：6×4+2×5+2×3+0×3+7×4+5×2=78三、用标号算法求解下图中从V1到各点的最短路4【解答】：此为最短路问题，权数为正，用Dijksta算法的计算步骤如下：1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v初始值T(){0}∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞1P()+wij0+20+80+∞0+∞0+∞0+∞0+∞0+∞0+∞0+∞T(){2}8∞∞∞∞∞∞∞∞2P()+wij2+62+∞2+12+∞2+∞2+∞2+∞2+∞2+∞T()8∞{3}∞∞∞∞∞∞3P()+wij3+53+∞3+∞3+∞3+∞3+13+∞3+∞T()8∞∞∞∞{4}∞∞4P()+wij4+∞4+∞4+64+∞4+74+∞4+∞T(){8}∞10∞11∞∞5P()+wij8+78+∞8+∞8+∞8+∞8+∞T()15{10}∞11∞∞6P()+wij10+∞10+410+∞10+∞10+∞T()1514{11}∞∞7P()+wij11+∞11+∞11+∞11+9T()15{14}∞208P()+wij14+∞14+114+∞T(){15}{15}119P()+wij15+4T(){19}由上表的迭代过程可得：qS{1v，2v，5v，9v，3v，6v，8v，7v，4v，10v，11v}d(1v,2v)=2,最短路：（1v,2v）；d(1v,5v)=3,最短路：（1v,2v,5v）；d(1v,9v)=4,最短路：（1v,2v,5v,9v）；d(1v,6v)=10,最短路：（1v,2v,5v,9v,6v）；d(1v,3v)=8,最短路：（1v,3v）或（1v,2v,3v）或（1v,2v,5v,3v）；d(1v,8v)=11,最短路：（1v,2v,5v,9v,8v）；d(1v,7v)=14最短路：（1v,2v,5v,9v,6v,7v）；d(1v,4v)=15,最短路：（1v,3v,4v）或（1v,2v,3v,4v）或（1v,2v,5v,3v,4v）；d(1v,10v)=15,最短路：（1v,2v,5v,9v,6v,7v,10v）；d(1v,11v)=19,最短路：（1v,2v,5v,9v,6v,7v,10v,11v）；四、某公司面对四种自然状态的三种备选行动方案收益表如下，假定状态概率未知，试分别用悲观准则、等可能性准则、后悔值准则和乐观系数准则（α=0.6）进行决策。5θ1θ2θ3θ4A11580－6A241483A3141012【解答】：（1）应用悲观准则：∵36,3,1-max,12}min{1,4,10,3}min{4,14,8,-6}min{15,8,0max∴S2为最佳方案。(2)应用等可能性准则：∵417)60815(41)(1AE,429)38144(41)(2AE,427)121041(41)(3AE,)(429}427,429,417max{2AE，∴S2为最佳方案。（3）应用后悔值准则：先求出后悔值矩阵00101492011181060B∵11}14,11,18{min}0,0,10,14max{}9,2,0,11max{}18,10,6,0max{min∴S2为最佳方案。(4)应用乐观系数准则（α=0.6）：先计算各个方案的折中益损值：6.664.0156.0)(1）（AE，6.934.0146.0)(2AE，6.714.0126.0)(3AE，∵)(6.9}6.7,6.9,6.6{m2AEax∴S2为最佳方案。状态收益值方案