2014计算方法试题及参考答案

第页(共2页)1研究生课程考试试题课程名称：计算方法考试类型（考试或考查）：闭卷年级：2014学时：54考试时间：2015年1月6日专业：学生姓名:学号:一、填空题（共10个空，每空3分，共30分）1、设近似值p的相对误差为2%，那么np的相对误差为2%n；2、设(1,2,2)Tx，1102A，则2||||x3，1||||A3；3、设()fx可微，求方程()xfx的牛顿迭代公式是1()1()nnnnnpfpppfp。4、求解方程组12126510xxxx的Jacobi迭代公式为112121620.2kkkkxxxx，该迭代是收敛；5、已知(4)2f，(9)3f，则()fx的线性插值多项式为1()0.21.2pxx；6、求积公式0()()nbkkakfxdxAfx的代数精度以Gauss型求积公式为最高，具有21n次代数精度；7、对初值问题0(,)(a)yfxyyy，显式Euler方法的绝对稳定区间为[2,0)。二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）1、对实数0a，应用牛顿法于方程10ax，导出求1a的迭代公式，证明它二阶收敛。解：设1()fxax，则方程10ax的解1a的牛顿迭代公式为212nnnppap。令2()()2()fxgxxxaxfx，则11gaa，11220gaaa，120gaa。故迭氏公式是二阶收敛的。2、用LU分解求解方程组：12312312324144565125xxxxxxxxx。第页(共2页)2解：设2144416512A，155b。令ALU得100210311L，214027007U。令UXY，方程组化为LYb，解之得：131Y。最后再解方程组UXY得27117X。3、对下面线性方程组123123123321015104521048xxxxxxxxx（1）试建立一种收敛的GaussSeidel迭代公式，说明理由（2）取(0)(0,0,0)TX，计算出(2)X。解：（1）改变方程的次序得新方程组123123123104521048321015xxxxxxxxx，它的系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以其GaussSeidel迭代是收敛的。GaussSeidel迭代为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.50.40.10.80.20.41.50.30.2kkkkkkkkkxxxxxxxxx。（2）当(0)(0,0,0)TX时，(1)(0.5,0.7,1.21)TX，(0)(0.901,1.1038,1.0021)TX4、已知sinx在区间[0.4,0.8]的函数表如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选取结点才能使误差最小？并求该近似值。解：由插值余项得结点应选为与插值点最近的三个点即0.5,0.6和0.7，插值多项式为：2(0.6)(0.7)(0.5)(0.7)(0.5)(0.6)()0.479420.564640.64422(0.50.6)(0.50.7)(0.60.5)(0.60.7)(0.70.5)(0.70.6)xxxxxxLx20.2821.16240.03128xxsin0.63891的近似值为：ix0.40.50.60.70.8iy0.389420.479420.564640.644220.71736第页(共2页)32(0.63891)0.2820.638911.16240.638910.031280.59627L5、求形如1yaxb（,ab为常数）的经验公式，使它与下表数据相拟合。ix0123iy1.0100.33330.20000.1429解：令Xx，1Yy。函数1yaxb化为YaXb，数据(,)iixy化为(,)iiXY如表：iX0123iY0.99013.00035.00006.9979问题化为求形如YaXb的经验公式，使它与上表数据据拟合。建立矛盾方程：00.99013.00032536.9979abababab法方程为：14633.9946415.9883ab解之得：2.0023a，0.9936b。形如1yaxb（,ab为常数）的经验公式为：12.00230.9936yx。也可简化为121yx6、求,AB使求积公式1111()(1)(1)22fxdxAffBff的代数精度尽量高，并求其代数精度。利用此公式求211Idxx。解：令公式对2()1,fxx是精确的，得第页(共2页)422212223ABAB解之得：19A；89B。求积公式为111811()(1)(1)9922fxdxffff公式显然对3()fxx是精确的。又当4()fxx时，公式左边25，右边13，故公式对4()fxx不是精确成立。所以公式的代数精度为3。对于积分211Idxx。32tx令，则2111113Idxdtxt。利用上面的求积公式解得：2111111118220.69293924957Idxdtxt。7、利用Euler方法计算积分20xtedt在点0.5,1,1.5,2x的近似值。解：令20xtyedt，则y满足微分方程2xye以及初始条件(0)0y。问题化为求初始问题2,02(0)0xyexy在0.5,1,1.5,2x的数值解。为此取0.5h，nxnh（0,1,2,3,4n）建立初始问题的Euler格式：2100nxnnyyhey（1,2,3,4n）解之得：00y，20.510.5*0.6420ye，21210.5*2.0012yye，21.5320.5*12.0439yye，22420.5*39.3430yye。这样就求出了积分20xtedt在点0.5,1,1.5,2x的近似值分别为0.6420,2.0012,12.0439,39.3430。