2013届人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值最值A

学而思网校课时作业(十五)A[第15讲导数与函数的极值、最值][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下列命题中正确的是()A．导数为0的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极大值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极小值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是最小值2．函数y＝x＋1x的极值情况是()A．既无极小值，也无极大值B．当x＝1时，极小值为2，但无极大值C．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值D．当x＝1时，极小值为2，当x＝－1时，极大值为－23．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．54．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K15－1，则()图K15－1A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点能力提升5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1a处有极值，则ab的值为()A．2B．－2C．3D．－36．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数7．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．98．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m329．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y＝f(x)的图象是()图K15－2学而思网校．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为________．11．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.12．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．13．已知函数f(x)＝13x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________．14．(10分)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，仅当x＝－1，x＝1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值．15．(13分)已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1成立，求实数a的取值范围．学而思网校课时作业(十五)A【基础热身】1．B[解析]根据可导函数极值的判别方法，如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．2．D[解析]函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增所以当x＝－1时，有极大值f(－1)＝－2，当x＝1时有极小值f(1)＝2.3．D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.4．A[解析]x1、x4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x2与x3是变号零点，因此它们是极值点，且x2是极大值点，x3是极小值点．【能力提升】5．D[解析]由f′1a＝3a1a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.6．A[解析]由题意可得f′(x)＝2－1x2(x0)，令f′(x)＝0得x＝－22(舍正)，列表如下：x－∞，－22－22－22，0f′(x)＋0—f(x)极大值由表可得：当x＝－22时，f(x)取得最大值，无最小值；f(x)在－∞，－22单调递增，在－22，0单调递减，故选A.7．D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得a＋b＝6，∵a0，b0，∴ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.8．A[解析]因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32.9．D[解析]设F(x)＝f(x)ex，∴F′(x)＝exf′(x)＋exf(x)＝ex(2ax＋b＋ax2＋bx＋c)，又∵x＝－1为f(x)ex的一个极值点，∴F′(－1)＝e－1(－a＋c)＝0，即a＝c，∴Δ＝b2－4ac＝b2－4a2，当Δ＝0时，b＝±2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；当Δ0时，b2a1，即对称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右边．又f(－1)＝a－b＋c＝2a－b＜0，故D错，选D.学而思网校[解析]由f′x＝x－1x0，x0，得x1.由f′x＝x－1x0，x0，得0x1，∴f(x)在x＝1时，取得最小值f(1)＝12－ln1＝12.11．11[解析]f′(x)＝3x2＋6mx＋n，依题意有f－1＝0，f′－1＝0，即m2＋3m－n－1＝0，－6m＋n＋3＝0，解得m＝2，n＝9或m＝1，n＝3，检验知当m＝1，n＝3时，函数没有极值．所以m＋n＝11.12．4[解析]∵y′＝3x2＋6ax＋3b，∴3×22＋6a×2＋3b＝0，3×12＋6a×1＋3b＝－3⇒a＝－1，b＝0.∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.13.0，43[解析]∵f(x)＝13x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx.∵x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则f0＝c0，f2＝13×23－22＋c0，解得0＜c＜43.14．[解答](1)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，∴f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.∵x＝±1时有极值，∴5＋3a＋b＝0，∴b＝－3a－5①，代入f′(x)得f′(x)＝5x4＋3ax2－3a－5＝5(x4－1)＋3a(x2－1)＝(x2－1)[5(x2＋1)＋3a]＝(x＋1)(x－1)[5x2＋(3a＋5)]．∵f(x)仅当x＝±1时有极值，∴5x2＋(3a＋5)≠0对任意x成立．∴3a＋50，a－53.考察f(x)、f′(x)随x的变化情况：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可知，当x＝－1时取极大值，当x＝1时，取极小值．∴f(－1)－f(1)＝4，即[(－1)5＋a(－1)3＋b(－1)＋1]－(15＋a·13＋b·1＋1)＝4，整理得a＋b＝－3②，由①②解得a＝－1，b＝－2.(2)∵a＝－1，b＝－2，∴f(x)＝x5－x3－2x＋1.∴f(x)的极大值为f(－1)＝3.学而思网校(x)的极小值为f(1)＝－1.15．[解答](1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，∴3＋2b＋c＝0，1＋b＋c＋2＝－1，解得b＝1，c＝－5.经验证，b＝1，c＝－5符合题意．(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f′(x)＝3x2＋2x－5.由f′(x)＝0得x1＝－53，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－53－53－53，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值根据上表，当x＝－53时函数取得极大值且极大值为f－53＝22927，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.根据题意结合上图可知k的取值范围为－1，22927.【难点突破】16．[解答](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝1＋lnx.令f′(x)0，解得x1e；令f′(x)0，解得0x1e.从而f(x)在0，1e单调递减，在1e，＋∞单调递增．所以，当x＝1e时，f(x)取得最小值－1e.(2)法一：令g(x)＝f(x)－(ax－1)，则g′(x)＝f′(x)－a＝1－a＋lnx，①若a≤1，当x1时，g′(x)＝1－a＋lnx1－a≥0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以，x≥1时，g(x)≥g(1)＝1－a≥0，即f(x)≥ax－1.②若a1，方程g′(x)＝0的根为x0＝ea－1，此时，若x∈(1，x0)，则g′(x)0，故g(x)在该区间为减函数．所以x∈(1，x0)时，g(x)g(1)＝1－a0，即f(x)ax－1，与题设f(x)≥ax－1相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是(－∞，1]．法二：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤lnx＋1x对于x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝1x－1x2＝1x1－1x.当x1时，因为g′(x)＝1x1－1x0，学而思网校(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，所以a的取值范围是(－∞，1]．