2013届新高考全案人教版数学(课外学生练与悟)7-2

第7章第2讲一、选择题1．(2008·山东)如下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π[解析]由三视图可知，该几何体上部是一个半径为1的球，下部分是一个半径为1高为3的圆柱，故其表面积为S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.[答案]D2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为()A．3πB．33πC．6πD．9π[答案]A3．(2011·佛山一模)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()A．6B．6πC．35πD．65π[答案]C4．正方体的内切球与外切球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶9[解析]正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，外接球的半径为32a，故所求的比为1∶33，选C.[答案]C5．(2010·课标，7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2[解析]长方体外接球直径为长方体体对角线长，即r＝62a，S球＝4π(62a)2＝6πa2，故选B.[答案]B6．(2009·全国Ⅱ，12)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下[答案]B二、填空题7．(2010·湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.[解析]根据三视图还原直观图，∴AC＝5，AB＝6，SA＝h，AC⊥AB，SA⊥平面ABC.∵S△ABC＝12AC·AB＝12×5×6＝15.VS－ABC＝13S△ABC·SA，∴20＝13×15×h，∴h＝4.[答案]48．(2009·江西，14)体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．[解析]设正方体棱长为a，则a3＝8，∴a＝2.∵S正方体＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝6π.V球＝43πR3＝43π(6π)3＝86ππ.[答案]86ππ9．(2009·上海，6)若球O1、O2表面积之比S1S2＝4，则它们的半径之比R1R2＝________.[解析]S球＝4πR2，故R1R2＝S1S2＝4＝2.[答案]210．已知圆锥的高为H，底面半径为R，它的内接圆柱的高为x，则这个内接圆柱的侧面积为_______，当x＝_______时，内接圆柱的侧面积最大．[解析]作轴截面得，r＝H－xH·R.S侧＝2π·H－xH·R·x＝－2πRH·x2＋2πRx当x＝H2时，面积最大．[答案]－2πRHx2＋2πR·x，H2三、解答题11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.[解]由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边为8的等腰三角形，左、右侧面均为底边为6的等腰三角形．(1)几何体的体积V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42.故几何体的侧面积S＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋242.12．(2009·宁夏、海南，18)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．(1)[证明]因为△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)[解]作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为Rt△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13×S×PC＝83.