2015-2016学年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．iB．﹣iC．1D．﹣12．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．36．曲线y=ex在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1C．2D．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx=．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．iB．﹣iC．1D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法．【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B．3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．0【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．故选：A．4．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|x=m=﹣=解得m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．6．曲线y=ex在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1C．2D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=﹣1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×1×1=．故选：A．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D．8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；故选：C．9．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线下包围的面积，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；