2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第3章导数及其应用332函数的极值与导数

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章导数及其应用成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数及其应用第三章第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13.3导数在研究函数中的应用第三章3.3.2函数的极值与导数第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：利用导数的知识求函数的极值．难点：函数的极值与导数的关系．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学函数的极值与导数的关系第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f′(x)______0，右侧f(x)单调递______，f′(x)______0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)_____0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________．我们把点a叫做函数f(x)的极______值点，f(a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极______值点，f(b)是函数的一个极______值．增减＝(c，f(c))(d，f(d))大大小小第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个___________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为__________，极大值点与极小值点统称为__________．f(x)f(x0)极大值极大值点f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧__________的点而言的．(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_________极值．附近定义域内没有第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_______值．(如图)大第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1B．0C．2D．不存在[答案]D[解析]∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值[答案]C[解析]函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A，B，D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．函数y＝x3－6x的极大值为()A．42B．32C．－32D．－42[答案]A[解析]y′＝3x2－6，令y′0，得x2或x－2，令y′0，得－2x2.∴函数y＝x3－6x在(－∞，－2)，(2，＋∞)上递增，在(－2，2)上递减，∴当x＝－2时，函数取得极大值42.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为__________，极小值为__________.[答案]43[解析]y′＝6x2－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)，令y′＝0，得x＝2或x＝3，经判断知极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求函数y＝3x3－x＋1的极值．[分析]首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．利用导数求函数的极值第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝13，x2＝－13.当x变化时，y′和y的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，13)13(13，＋∞)y′＋0－0＋y单调递增极大值119单调递减极小值79单调递增因此，当x＝－13时，y有极大值，并且y极大值＝119.而当x＝13时，y有极小值，并且y极小值＝79.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．3．f′(x0)＝0只是可导．．函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.∴f(x)＝x3＋3x2－9x，∴f′(x)＝3x2＋6x－9，∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)27－5即函数f(x)在(－∞，－3)上递增，在(－3,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴当x＝－3时，f(x)有极大值27，当x＝1时，f(x)有极小值－5.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间．[分析]f(x)在x＝1处的极小值为－1包含以下的含义：一是f(1)＝－1，二是f′(1)＝0.已知函数极值求参数[解析]由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，由①②解得a＝13，b＝－12，∴这时f(x)＝x3－x2－x.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，令f′(x)0，得x－13或x1，令f′(x)0，得－13x1，∴f(x)在x＝1的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，∴f(x)在x＝1处取得极小值，故a＝13，b＝－12，且f(x)＝x3－x2－x.它的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；单调递减区间是(－13，1)．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.[解析]求导得f′(x)＝2(x－a)·lnx＋x－a2x＝(x－a)(2lnx＋1－ax)，因为x＝e是f(x)的极值点，所以f′(e)＝(e－a)(3－ae)＝0，解得a＝e或a＝3e.经检验，符合题意，所以a＝e或a＝3e.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；②在区间(1,3)内f(x)是减函数；③x＝2时，f(x)取到极大值；④在x＝3时，f(x)取到极小值．其中正确的是__________(将你认为正确的序号填在横线上)．图象信息问题第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[分析]给出了y＝f′(x)的图象，应观察图象找出使f′(x)0与f′(x)0的x的取值范围，并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．[答案]③[解析]由f′(x)的图象可见在－∞，－32和(2,4)上f′(x)0，f(x)单调减，在－32，2和(4，＋∞)上f′(x)0，f(x)单调增，∴只有③正确．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案]C第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则