2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第3章导数及其应用333函数的最大(小)值与导数

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章导数及其应用成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数及其应用第三章第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13.3导数在研究函数中的应用第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会用导数求某定义域上函数的最值．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：1.最值概念的理解．2．求函数的最值．难点：最值与极值的区别与联系．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．下图中的函数f(x)的最大值为_____，最小值为_____．而极大值为__________，极小值为__________．函数最值的概念f(g)f(b)f(d)，f(g)f(c)，f(e)第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．最大值最小值可导的第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()A．最大值为13，最小值为34B．最大值为1，最小值为－17C．最大值为3，最小值为－17D．最大值为9，最小值为－19[答案]A[解析]∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．函数y＝f(x)在区间[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值[答案]D[解析]最大值是极值与端点值中最大的值．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4[答案]C[解析]对函数求导f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f(0)＝2，故选C．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于()A．3B．1C．2D．－1[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－13(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-15．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为__________.[答案]1[解析]因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－30，f(0)＝50，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[分析]首先求导，明确函数的极值点，然后根据定义域的类型，或将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值，或将极值进行分析求得最值．利用导数求函数的最大值与最小值求函数f(x)＝2sinx－x(－π2≤x≤π2)的最值．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]f′(x)＝2cosx－1，令f′(x)＝0，得x1＝π3，x2＝－π3.根据x1，x2列表，分析f′(x)的符号和函数的单调性：x－π2(－π2，－π3)－π3(－π3，π3)π3(π3，π2)π2f′(x)－1－0＋0－－1y＝f(x)－2＋π2极小值极大值2－π2第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1由上表知，x＝π3为极大值点，x＝－π3为极小值点．f(π3)＝3－π3，f(－π3)＝－3＋π3，f(π2)＝2－π2，f(－π2)＝－2＋π2.通过比较知，[f(x)]max＝3－π3，[f(x)]min＝－3＋π3.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下：(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点；(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值．如f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点，也不能保证f(x)有最大值和最小值，如函数f(x)＝|x|，－1≤x≤1且x≠01，x＝0.在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．3．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值．[解析]f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11，故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．[分析]先由f′(x)＝0求出极值点，再求出极值点与区间端点的函数值，通过比较可找出最大值点与最小值点，利用最小值求出a的值后即可确定最大值．含参数的函数最值问题第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.f(0)f(2)f(－2)，∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.∴当x＝0时，f(x)max＝3.[方法规律总结]已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值．[解析]f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(1)若a0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)单调递增最大值3单调递减∴当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，∴－16a＋3＝－29，∴a＝2.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)若a0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)单调递减最小值－29单调递增∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，∴a＝－2.综上：a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1函数f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其图象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0.(1)求函数f(x)的解析式；综合应用问题(2)若函数y＝f(x)的图象与y＝13f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)由题意得f′(x)＝3ax2－12ax＋3b，f′(2)＝－3且f(2)＝5，∴12a－24a＋3b＝－38a－24a＋6b＋b＝5，即4a－b＝1－16a＋7b＝5，解得a＝1，b＝3，∴f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，13f′(x)＋5x＋m＝13(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0得x＝23或x＝4.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表：x(－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)6827－m－16－m则函数g(x)的极大值为g(23)＝6827－m，极小值为g(4)＝－16－m.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∴由y＝f(x)的图象与y＝13f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，得g23＝6827－m0g4＝－16－m0，解得－16m6827.第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.证明不等式，研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题，导数和数形结合法是一种很有效的方法，经常通过分析函数的变化情况，结合图形分析求解．，2．恒成立问题向最值转化也是一种常见题型．第三章3.33.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．[解析