2015-2016学年高中数学第2章22第2课时反证法课时作业新人教B版选修2-2

12015-2016学年高中数学第2章2.2第2课时反证法课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b、b＋1c、c＋1a()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[答案]C[解析]a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.故选C.2．异面直线在同一个平面的射影不可能是()A．两条平行直线B．两条相交直线C．一点与一直线D．同一条直线[答案]D[解析]举反例的方法如图正方体ABCD－A1B1C1D1中A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.3．已知x、y∈R，且x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值34，而无最大值B．最小值1，而无最大值2C．最小值12和最大值1D．最大值1和最小值34[答案]D[解析]设x＝cosα，y＝sinα，则(1－xy)(1＋xy)＝(1－sinαcosα)(1＋sinαcosα)＝1－sin2αcos2α＝1－14sin22α∈[34，1]．4．用反证法证明命题“如果ab0，那么a2b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2B．a2b2C．a2≤b2D．a2b2，且a2＝b2[答案]C5．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则()A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b，c至少有一个不小于12[答案]D[解析]假设a，b，c均小于12，则a＋2b＋c12＋1＋12，与已知矛盾．6．“M不是N的子集”的充分必要条件是()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案]D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.7．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件3C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR0成立．其次，若PQR0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即a＋b－c0，b＋c－a0，∴b0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故选C.8．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数[答案]D[解析]“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.二、填空题9．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.用反证法证明此题时应假设____________________．[答案]|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1210．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列．求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________________________②＝________________________________③＝0.[答案]①a1－1，a2－2，…，a7－7②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)11．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．[答案]134[解析]假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c1.故a、b、c中至少有一个数不小于13.三、解答题12．求证：若x，y，z均为实数，且a＝4y－x2－2π3，b＝4z－y2－4π3，c＝4x－z2－2π，求证：a，b，c中至少有一个小于零．[证明]假设a，b，c都不小于零，则a＋b＋c≥0.所以a＋b＋c＝(4y－x2－2π3)＋(4z－y2－4π3)＋(4x－z2－2π)＝－[(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]－4π＋12≥0.因为－[(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]≤0，所以－4π＋12≥0，即4π≤12，这与基本事实4π12矛盾．故a，b，c中至少有一个小于零.一、选择题1．实数a，b，c不全为0的含义是()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0[答案]D[解析]“不全为0”即“至少有一个不为0”．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]本题考查命题的非的写法．至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．53．已知x0，y0，x＋y≤4，则有()A.1x＋y≤14B．1x＋1y≥1C.xy≥2D．1xy≥1[答案]B[解析]由x0，y0，x＋y≤4得1x＋y≥14，A错；x＋y≥2xy，∴xy≤2，C错；xy≤4，∴1xy≥14，D错．4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个[答案]A[解析]假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n∈N*，使得an＝bn，但若ab，n∈N*，恒有a·nb·n，从而an＋2bn＋1恒成立．∴不存在n∈N*，使得an＝bn.故应选A.二、填空题5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．[答案]存在一个三角形，其外角至多有一个钝角6．用反证法证明命题“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是________．[答案]假设CD与EF不平行7．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．[答案]假设a、b都不能被5整除三、解答题8．若x0，y0，且x＋y2，求证1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．[解析]假设都不成立，即有1＋xy≥2且1＋yx≥2.∵x0，y0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，这与已知条件x＋y2矛盾．∴假设不成立，原命题成立，6即1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．9．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．综上所述，可知bc≠0.10．(2015·湖南理，16)设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2；(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1，同理0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．