2015-2016学年高二人教版数学必修5课件1-1-2余弦定理

第1页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第一章解三角形第2页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5§1.1算法与程序框图第3页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第二课时余弦定理课前预习目标课堂互动探究第4页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前预习目标梳理知识夯实基础第5页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5自学导引1.了解余弦定理与勾股定理的区别与联系．2．理解余弦定理的推导过程．3．掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.第6页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前热身1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的____________的____________减去这两边与它们的夹角的余弦的____________的两倍，即a2＝__________________________，b2＝__________________________，c2＝__________________________.第7页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．从余弦定理，可以得到它的推论：cosA＝____________________________，cosB＝____________________________，cosC＝____________________________.第8页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修51.平方和积b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC自我校对2.b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab第9页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5名师讲解1.余弦定理的其他证法课本使用了向量的方法推导出了余弦定理，还可以用其他方法进行证明．第10页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5证法1(勾股定理法)在三角形ABC中，已知边a，b及C，求边c的长．如果C＝90°，那么可以用勾股定理求c的长；如果C≠90°，那么是否仍可以用勾股定理来解呢？很自然的想法是构造直角三角形，以便于应用勾股定理进行计算．当C为锐角时(图①)，高AD把△ABC分成两个直角三角形ADB和ADC；当C为钝角时(图②)，作高AD，则构造了两个直角三角形ADB和ADC，算出c的关键是先算出AD和BD(或DC)．第11页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第12页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5考查向量AC→在向量BC→方向上的正射影数量：当C分别为锐角和钝角时，得到的两个数量符号相反；当C为直角时，其向量AC→在直角边上的正射影的数量为零．因此，不论C是锐角、钝角还是直角，都有第13页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5AD＝bsinC，DC＝bcosC，BD＝a－bcosC.在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2＝AD2＋BD2＝b2sin2C＋(a－bcosC)2＝a2＋b2－2abcosC.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosA.第14页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5证法2(解析法)如图，以A点为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，由两点间的距离公式得第15页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2，a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.第16页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5证法3(用正弦定理证明)∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.∴b2＋c2－2bccosA＝4R2(sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]＝4R2[sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sinB·sinCcosBcosC]＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sinBsinCcosBcosC]第17页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5＝4R2[sin2Bcos2C＋sin2Ccos2B＋2sinBsinC·cosBcosC]＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2.同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.第18页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．使用余弦定理的注意事项(1)利用余弦定理解三角形时，要注意根据条件恰当选取公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用定理的推论．(2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择．(3)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．第19页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5(4)要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用．(5)利用余弦定理求三角形内角时，一般先求小角，后求大角．(6)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理．如：已知a，b，A，可先由余弦定理求出c，即a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边c的解的个数对应三角形解的个数．第20页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修53．如何判断三角形的形状问题(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系；要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．第21页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5(3)常见结论：设a，b，c是△ABC的角A，B，C的对边，①若a2＋b2＝c2，则C＝90°；②若a2＋b2c2，则C90°；③若a2＋b2c2，则C90°；④若sin2A＝sin2B，则A＝B，或A＋B＝π2.第22页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课堂互动探究剖析归纳触类旁通第23页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5已知两边及夹角解三角形一【例1】在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A，B和边c的值．【分析】由条件知C为边a，b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．典例剖析第24页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理，得asinA＝csinC，第25页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12，∵ba，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.第26页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论.第27页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5已知三边解三角形二【例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【分析】解答本题可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定理求出最大角及sinC.第28页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】∵acb，∴A为最大角．由余弦定理变形，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝32.第29页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解法1：由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A为120°，sinC＝5314.第30页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解法2：∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114，∴C为锐角．∴sinC＝1－cos2C＝1－11142＝5314.∴最大角A为120°，sinC＝5314.第31页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解.第32页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形三【例3】在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边长c.【分析】已知△ABC中的两边及其中一边的对角，应用余弦定理或正弦定理都可以解决问题．第33页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】解法1：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝45°，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝6＋c2－26c×22，即c2－23c－6＝0.解得c＝3±3.∵c0，∴c＝3＋3.第34页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解法2：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝45°，由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12.∵ba，∴BA，∴B＝30°，C＝105°.∵sinC＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.第35页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧使用正弦定理求角时，要注意讨论解的情况，舍去增根；使用余弦定理求角时，角的余弦值对应的角是唯一的．可以避免讨论．比较本例两种方法知，解法1比解法2简单，因此解题时，应根据具体情况作出选择.第36页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5正弦定理、余弦定理的应用比较四【例4】△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.【分析】题目已知两边和一边的对角，要求另一边和其他的角，可首先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，亦可由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A，角C.第37页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】解法1：由bc，B＝30°，bcsin30°＝323，知本题有两解．∵sinC＝csinBb＝333×12＝32，∴C＝60°，或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝b2＋c2＝32＋332＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.第38页第一章解三角形返回导航高中