20151218矩阵与数值分析期末复习

-1-《矩阵与数值分析》期末复习2010级试题参考答案、评分标准一、填空题（共50分，每填对一空得2分）（1）已知1.234a，2.345b分别是x和y的具有4位有效数字的近似值，那么，xaa31102；(3)(3)xyab3210．（2）4231A=的QR分解A=435155340255；将向量T1,4,3x映射成T1,5,0y的Householder变换矩阵H=1004305534055，2()condH=1．（3）记区间1,1上以1x为权函数的正交多项式序列为012,,,xxx．则其中的2x24(31)9x；（可以相差常数倍）3x在1,1上的二次最佳平方逼近多项式2()px0．类似问题1351d?xxxx（4）数值求解微分方程22(0)1utuu的Euler法格式为212nnnnuuhtu；梯形法格式为22111()nnnnnnuuhtutu（步长h）．（几阶？几步？）（5）已知)(xf是一个次数不超过4的多项式，其部分函数值如下表所示：ix01234()ifx1-111965则[0,1,2]f2，()fx32241xx，[0,1,2,4]f2．-2-类似问题Lagrange插值公式、Newton插值公式，会灵活利用余项估计．再进一步构造插值型求积公式．（6）满足下列条件：(0)1,(0)0,(1)0,(1)1HHHH的三次Hermite插值多项式()Hx32341xx（写成最简形式）.（7）Simpson数值求积公式的代数精度为3．用该公式分别估算定积分1410dIxx和143220(22)dIxxxx，所得近似值分别记为S和S，则S524，2IS1-60.类似问题给出表格函数，求数值积分.（8）迭代格式12213kkkxxx对于任意初值00x均收敛于33，其收敛阶p2.类似问题构造Newton法、弦截法格式，写出收敛阶.（9）奇异值分解11125202213135120111131322A=，则2A2，FA5.类似问题构造SVD并由此讨论矩阵的性质.（10）已知0.510.5A,则0kkA2402，10A10910210202，eA0eee，teA2220tttetee，ddtetA2221(1)22102tttteee.其它常见问题求向量、矩阵的常用范数；秦九韶算法；三次样条函数的判别.-3-二、（12分）设线性方程组123111112211232xxx(1)求系数矩阵A的LU分解；(2)利用平方根法（又称Cholesky方法）解此方程组；(3)构造解此方程组的G-S迭代格式，并讨论其收敛性．解(1)1100111110011101012LAA，211100111010011011001LLALAU，1112100100111100111110010011110011101011001111001A=LLU=LU．------------4分(2)A的Cholesky分解与LU分解相同．由123100111011112yyy，解得123101yyy；再由123111101100011xxx，解得123111xxx．---------------------8分(3)G-S迭代格式(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)31211(12)21(12)3kkkkkkkkkxxxxxxxxx，--------------------10分收敛性证明方法一、因为A对称正定，所以G-S法收敛．--------------------12分方法二、由特征方程111111()2222021102300320032C，知2()13GB，所以G-S法收敛．--------------------12分-4-三、（8分）求拟合下列数据的最小二乘曲线yabx.ix01234iy1.81.2-0.2-0.8-2.2解法方程组5100.2103010.4ab------------------------6分解得1.96,1ab，-------------------------------------8分最小二乘解1.96yx．最小二乘法其它类型非线性拟合情形，如1yabx等.四、（8分）设1是nR上的1-向量范数，nnRP为非奇异矩阵．对于任意nRx，定义1PxPx．证明：P是nR上的一种向量范数，并且111maxjjnPxpx，其中(1,2,,)jjnp为P的列向量．证（1）非负性对于任意nRx，10PxPx；并且100PxPxPx0x0；-----------------2分（2）齐次性111()(),PPxPxPxPxxR；---------4分（3）三角不等式1111()PPPxyPxyPxPyPxPyxy；-----6分综上，P是nR上的一种向量范数．（4）不等式的证明方法一、由算子范数与向量范数的相容性，111111maxjjnPxPxPxpx．---------------------------8分方法二、112211nnxxxPxPxppp1122111nnxxxppp1122111nnxxxppp1211()maxnjjnxxxp111maxjjnpx．--------------------8分-5-五、（12分）对于解常微分方程初值问题00()(,)()utftuutu的线性二步法2121517834416nnnnnnhuuufff（1）求其局部截断误差（必须写出主项），并指出该方法是几阶方法；（2）讨论收敛性；（3）求绝对稳定区间．解（1）01230,cccc434151159645(2)(827)4!43!16969696c；------------------------------------------4分局部截断误差(4)4525()()()96nnRhuthOh；----------------------------------------5分该方法是三阶方法．----------------------------------------6分（2）由251044，解得1211,4．知该方法满足根条件，又因其阶1p，所以该二步法收敛．-----------------------------------8分（3）特征方程225178344161616hhh，275813(1)()()016416416hhh，2(167)(208)(43)0hhh，2208430167167hhhh，以下解不等式2084320412167167167hhhhhh．（*）------------------------10分首先由2042167hh，得2043214,hh其解0h；再由208204167167hhhh，得420208204hhh，其解100h；所以，（*）不等式的解集为100h，即此线性二步法的绝对稳定区间为(10,0)．------------------------------------12分类似问题构造形如2110223nnnnhuuuf的线性二步法，使其精度尽可能高，并求其局部截断误差主项、讨论收敛性、求绝对稳定区间．-6-解知010,22,312，求0,1．根据题意，应满足：00110c，112203c，解之，得01,3143．故所求的格式为：212412333nnnnhuuuf．对此格式继续算得214440,233c3141828,63239c所以局部截断误差主项为：3329nhut．这是二步二阶法．令241110333，得11，213。故满足根条件；又因该方法至少为一阶，所以收敛．对于模型问题：uu，有224110333hh（,0hh）．整理得243130332332hh，即21403232hh1的充要条件为22311234hhh，可推出0h，绝对稳定区间(-∞,0)．六、（10分）已知0()()d()nbkkakxfxxAfx为Gauss型求积公式，其中()x为权函数；设0()lx，1()lx，,()nlx为以01,,,nxxx为节点的Lagrange插值基函数．证明：(1)()()()d0()bijaxlxlxxij；(2)20()()d()dnbbkaakxlxxxx．证(1)因为Gauss型求积公式的代数精度为21n，而()()ijlxlx为2n次的代数多项式，所以0()()()d()()nbijkikjkakxlxlxxAlxlx．又因为当ij时，()()0ikjklxlx，所以()()()d0bijaxlxlxx．-------------------5分(2)对0,1,,n中任意固定的i，2()ilx为2n次的代数多项式，所以-7-220()()d()nbikikiakxlxxAlxA，从而2000()()d(1)()1d()dnnnbbbkkkaaakkkxlxxAAxxxx．------------------10分Gauss型求积公式的常见题型1、给定积分区间、权函数，构造指定点数的公式（正交多项式→Gauss点→求积系数）；2、已知（或求得）一个Gauss公式，通过做积分变量替换，构造出另一积分区间上的Gauss公式．以上内容中没能提及的往年考题中的问题还有1、正规矩阵的Schur分解的特点；2、Jordan分解；3、计算矩阵函数时的工具：Hamilton定理，待定系数法；4、利用LU分解求逆矩阵；5、列主元消去法，PA=LU