2015IYPY及CUPT参考资料

赛题汇报NO.13【MagneticPendulum】步骤•1.问题回顾•2.赛题初步分析•3.模型假设•4.建模•5.推导•6.分析•7.总结题目NO.13MagneticPendulum现象Makealightpendulumwithasmallmagnetatthefreeend.AnadjacentelectromagnetconnectedtoanACpowersourceofamuchhigherfrequencythanthenaturalfrequencyofthependulumcanleadtoundampedoscillationswithvariousamplitudes.Studyandexplainthephenomenon.制作一个自由端有一个小磁体的轻摆。一个临近的通有频率远高于摆的固有频率交流电的电磁铁可以导致不同振幅的无阻尼振动。研究并解释这个现象。•初分析：1.交流电频率、摆的固有频率，两者之间的关系是重点，要求远大于，怎样算是远大于；2.无阻尼振动。无阻尼振动的定义即：振幅不变的振动。所以要求交流电场能提供的能量抵消阻力的损耗；其次不同振幅的无阻尼运动；其条件；3.要求研究、解释。模型假设：1.小磁体看作质点；2.空气阻力不可忽略；3.绳的质量不计；4.摩擦不计。•建模•受力分析•微分方程令，写成标量式：两式联立得化简得的二阶非线性微分方程：•在磁场中，方程化为令，，，方程化为用Matlab求解：y=dsolve('D2y+0.1*Dy+32.6667*sin(y)=32.6667*cos(57.1548*x)','y(0)=0,Dy(0)=0','x')Warning:Explicitsolutioncouldnotbefound.Indsolveat194结果：无解析解！•换一种方式求解：令，方程化为一阶的非线性微分方程组：再令，得一阶的非线性微分方程组：•再次用MATLAB求解：得到图像：theta-t；omega-t；z-t：t：【0，300】theta-tomega-tz-t可以看出，摆最终做的是等幅振动。参数选取：r=0.3m，g=9.8m/s^2，b=0.01，m=0.1kg，=1，=10.频率范围，亦即的范围：0.1：0.5：0.8：1.0：2.0：5.0：10：20：结论：1时，摆才能做稳定的等幅运动（即无阻尼运动）；并且越大，越快达到稳定状态。这也容易理解，摆处于磁场力的激励下；其形式为余弦形式，其频率取决于参量omega；从另一方面看，其激励效率也取决于omega。较大的omega保证了能量转化的高效率，也容易达到稳定状态。下面的问题是，何为不同振幅的无阻尼运动。混沌现象：定义：混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。不论是化为方程组还是看原方程，均存在非线性的敏感项，即，其敏感程度取决于参数。方程的求解借助于MATLAB，并不困难。但求解的可信度有多大？首先我们先按题设要求的远大于的情形来讨论。不妨取=10。若绳长为半米，则约57.2rad/s；若达到此数值，则周期为0.11s左右，可以看到，若我们选定某一初始条件直接代入方程求解，其必对应于周期内某一点。但是如果偏差值达到0.05，则已错过约1/2周期，这意味着cos的值与代入值已相差甚远。若绳长进一步缩小，则对偏差值要求更小。1.T如此小的情况下，已经无法判断初始条件，甚至可以说，初始条件是随机的。2.除此以外还有方程的非线性性也会带来随机性，对于初始条件的微小变化，会给输出带来巨大的影响。即“蝴蝶效应”。注：1的影响并不体现在理论上；因为周期再小，也有方法将结果逼近，但对于实验却非常重要。偏差值达到0.05，则已错过约1/2周期，这意味着cos的值与代入值已相差甚远。若绳长进一步缩小，则对偏差值要求更小。所以说，对于远大于1的情形，从实验上判断时，仅研究一两组或者同一个位置并无太大的意义。这是因为随机性下研究逐个的点是无意义的。2的影响是不可消除的；是系统的内禀随机性。所谓不同振幅的无阻尼运动也正来源于此！•结合实验看：如何进行实验？由于理论和实验间的联系较少（随机性的影响），故采用逼近的方法。由大数定律，设是独立同分布的随机变量序列，具有相同的有限数学期望，，则对于任意有：这意味着，只要样本值足够多，完全可以逼近理论值。对于一个点，这就是所谓的取平均值的方法，其效果是显然的。但前面也已提到过，研究一个点的意义并不大，那么我们反其道而行，取非常多的点，比较通常的取法是将圆周360度等分成50份或更多。由此得到随机变量的观察值，然后改变方程中的参量，得到另一组观察值，将所有这些观察值画在图上，会有什么效果？从理论上讲，就是所谓的解的歧化图（logisticmap），下面是改变一系列参量时的歧化图：•可以看出，歧化图的歧化几乎是无规律的（虽然部分简单方程有周期性规律），那么我们得到了试验和理论的图象，剩下的只需要比较两图象的重合度即可。•重合度虽然可以看重合的面积的大小，但这么做并不可取。主要应该看两方面：1.歧化点的位置；2.歧化点的数量。然后再比较面积，不过很可能偏差较大，因为样本数量即使有数百个，也不能保证说能较均匀地分布在可能的点上，所以其实比较面积意义不大。•从以上分析可以看出，理论和实验联系的关键是大样本实验。我们要做的，就是找出theta-omega图中中的歧化点。这种基于概率论做法主要是回避了随机性的不确定性的影响；其次比较好找歧化数目（这也是相图法所不具备的）！•误差分析：•理论误差：主要来自阻力项：阻力形式是否合适。对精度的影响；形式如：，…但更一般的情况下，严格地讲，D与v的关系，不能用简单的函数关系表出，所以确定其运动规律也就比较困难，只能用图解法或近似法求之。对于空气密度均匀分布，可视为质点的物体，其空气阻力模型可假设为如下形式：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%（注：只是近似解法！！）当v=C0时,将上式展为级数后，略去高阶无穷小项，取级数展开式中的二次项有：•，取一级近似精度足够。•实验误差：1.首先是随机误差：在大样本条件下几乎消除；2.摩擦等：较易消除；3.测量误差：较难消除。•结论：•1.做稳定的无阻尼运动的频率条件：•1;•2.不同振幅的无阻尼运动：系统非线性性导致的解的歧化现象。不足：•磁场形式：选用的较常见的余弦形式；交流电波形：矩形；三角波…形式会有所变化，解法一致，此时用傅里叶变换或拉普拉斯变换更方便；•实验进行的困难：大样本实验，空间位置如何等效；（同一点测效果不佳）；测量的困难等。参考文献：•新概念之电磁场：赵凯华；•非线性系统的混沌学；•概率论；•复变函数；•积分变换；•IYPT官方文献。