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当前位置:首页 > 临时分类 > 2015中考数学复习《探究抛物线中特定三角形的存在性问题》
1探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题,是中考的热点和难点.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的联系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一,同时要学会将大题分解为小题,各个击破,本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例,说明这类问题的解题策略.一、抛物线中等腰三角形的存在性例1(湖南湘西州中考题)如图1,已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点坐标为A(-2,0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;(2)求C点坐标,连结AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;(3)试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.解(1)易得抛物线解析式为配方得,y=2125344x,所以对称轴方程为x=3;(2)在213442yxx中,令x=0,则y=4,所以点C(0,4).令y=0,则2134042xx解得x1=8,x2=-2,∴A(-2,0),B(8,0).设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,解得直线BC的解析式为2142yx;(3)△AOC∽△COB.理由:在△AOC与△COB中∵OA=2,OC=4,OB=8,∴2141,4282OAOCOCOB∴OAOCOCOB.又∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB;(4)因为抛物线的对称轴方程为x=3,Q点在对称轴x=3上,如图2.点评本题点的移动贯穿始终,其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论,在具体求点Q坐标时,还要充分注意图形的几何特点,利用数形结合思想.二、抛物线中的直角三角形的存在性3例2(广州市中考题)如图3,抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上一动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l解析式.解(1)A(-4,0),B(2,0)(过程略);(2)因为抛物线y=-38x2-34x+3的对称轴为x=-1,与y轴交点C的坐标为(0,3),所以直线AC的解析式为y=34x+3.且当x=-1时,有y=94,所以直线AC与对称轴x=-1的交点H的坐标为(-1,94).因为AB=6,CO=3,所以△ACB的面积为,S△ACE=9.不妨设点D的坐标为(-1,m),如图4,则△ACD的面积为S△ACD=12×DH×AO=9.当点D位于AC上方时,DH=m-94,代入解得m=274;当点D位于AC下方时,DH=94-m,代入解得m=-94.所以点D的坐标为(-1,274),或(-1,-94)(3)如图5,以AB为直径作⊙P,当且仅当直线l与⊙P相切时符合题意.因为Rt△PME中,∠PME=90°,PM=3,PE=5,所以由勾股定理,可得ME=4.4利用三角形相似可以求得点M的坐标M(45,125)设直线l的解析式为y=kx+b,代入M(45,125),E(4,0),解得4125540kbkb,即343kb所以直线l的解析式为y=-34x+3同理可得直线l的另一个解析式为y=34x-3.点评此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用,这是初中阶段的重点,解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考,第3问具有较高的区分度,对学生的能力要求特别高,学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力.三、抛物线中相似三角形的存在例3(山东日照中考题)已知,如图6,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,128xx.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图7,点Q为弧EBF上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.5(2)如图8,由抛物线的对称性可知:AD=BD,△ADB为等腰三角形.若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P,使△ABP与△ADB相似,必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD.设AP交抛物线的对称轴于D’点,显然6同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得与△PAB与△ADB相似;点评解决存在性问题的基本思路是:先假设存在,然后根据问题的已知条件去探索,但对于按部分条件得出的结论,还需要验证是否满足题目的全部要求.
本文标题:2015中考数学复习《探究抛物线中特定三角形的存在性问题》
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