中考之圆综合题型

6．（2017武汉元调）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝∠BOC．（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数．CBAO解：（1）证明：在⊙O中，∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC．∴∠ACB＝2∠BAC．（2）解：设∠BAC＝x°．∵AC平分∠OAB，∴∠OAB＝2∠BAC＝2x°，∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠ACB＝4∠BAC＝4x°，在△OAB中，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴4x＋2x＋2x＝180，解得：x＝22．5，∴∠AOC＝6x°＝135°．7．（2017武汉元调）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．CEDBA解：（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF．∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；（2）解：∵∠BAC＝90°．∴AB与⊙D相切，∵BC是⊙D的切线，∴AB＝FB．∵AB＝5，BC＝13，∴CF＝8，AC＝12．在Rt△DFC中，设DF＝DE＝r，则r2＋64＝（12－r）2，解得：r＝103．∴CE＝163．13．（2016武汉元调）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．BOCEADDAECOB解：（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，∴CECB，∴CE＝BC＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝2222=86=10ACBC，即⊙O直径的长是10．【案例1】圆中的线段【真题呈现】如图，在⊙O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形OEAD为（C）A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形ADCBEO【真题解读】因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得OE⊥AC，OD⊥AB．∵AB⊥AC，∴OEAD为矩形，故填C．【真题变式】1．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于E，且AB⊥CD，AE＝2，BE＝6，CE＝4，则⊙O的半径R＝．解：过O作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，设DE＝2x，CG＝422x＝2＋x，GE＝2＋x－2x＝2－x，AF＝FB＝12×(2＋6)＝4，∴EF＝AF－AE＝4－2＝2，∴22＋(2＋x)2＝OC2＝OB2＝(2－x)2＋42，解得x＝1．5，∴R＝652．OEBCDAGADCFBEO2．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上，∠A＝60°，求AB2＋AC2－ABAC的值．OCBAADBCOE解：延长CO交⊙O于D，连DB、CB，过C作CE⊥AB于E，∵CB＝CB，∴∠D＝∠A＝60°，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∴BC＝32CD＝32×6×2＝63，易得AE＝2AC，CE＝32AC，∵CE⊥AB，∴CE2＋BE2＝BC2，即23()2AC＋21()2ABAC＝2(63)，∴AB2＋AC2－ABAC＝108．3．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上，∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．连DE，求DE的长．解：连OC、OB、BC，过O作OF⊥BC于F，∵∠A＝60°．∴∠COB＝2×60°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝30°．∵R＝6，∴OF＝3，CF＝33．∴BC＝2CF＝63．∵OE⊥AC，OD⊥AB．∴D、E分别为AB、AC的中点．∴DE＝12BC＝33．4．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，求四边形OEAD面积的最大值．解：连OA、OC、OB、BC，易知DE＝12BC＝12×63＝33．AO、DE的长度不变，当AO⊥DE时面积最大，∴S四边形OEAD＝12OADE＝12×6×33＝93．5．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠BAC＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，则下列结论中，错误的是(B)A．弦BC的长为定值B．四边形OEAD的面积为定值C．线段DE的长为定值D．四边形OEAD的面积有最大值案例2切线中常见基本图形[真题呈现]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．CEODABCEODABCEODABFCEODABCEODABCEODAB[真题解读]（1）遇切线连接切点和圆心，故连CO，则CO⊥CD．∵CO＝AO，∴∠CAO＝∠ACO．∵CO⊥CD，AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠ACO＝∠DAC，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．（2）用（1）的结论：∵AC平分∠DAB，∴CE＝CB，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝222286ACCB＝10．【真题变式】1．例题中在（2）的前提下：①CD＝_________；②DE＝____________．解：①过C作CF⊥AB于F，∵∠DAC＝∠CAO，∴CD＝CF，CF＝6810ABCBAB＝4．8，∴DE＝222264.8CECD＝36；②易证△CDE≌△CFB，∴设DE＝BF＝x，∴62－x2＝82－(10－x)2，解得x＝3．6．2．在例题条件下，已知CD＝a，DE＝b．求⊙O的半径R．解：连OC、BE相交于F，连CE，易证：△DCE≌△FBC．在△OFB中，OB2＝OF2＋BF2，∴(R－b)2＋a2＝R2，解得R＝222abb．3．在例题条件下，已知R＝6，CE＝25，则①R＝___________，②CD＝___________．解：①R2－32＝（25）2＝（－3）2，解得R1＝5，R2＝－2（舍去）．②CD＝22(25)＝1．4．在例题条件下，延长AB，DC相交于F，若∠F＝α，连接AC．（1）如图1，当α＝30°时，AFAC＝___________；3（2）如图2，当α＝45°时，AFAO＝___________；2＋1CAEDOBFCAEDOBFCAEDOB（3）如图3，当α＝60°时，AFAO＝___________；233＋1图3图2图1FDOFDOFDOAAABCBCBC案例3图中几何变换【真题呈现】如图，△ABC是等边三角形，O为BC的中垂线AH上的动点，⊙O经过B，C两点，D为BC上一点，D，A两点在BC边异侧，连接AD，BD，CD．（1）如图1，若⊙O经过点A，求证：BD＋CD＝AD；（2）如图2，圆心O在BD上，若∠BAD＝45°，求∠ADB的度数；（3）如图3，若AH＝OH，求证：BD2＋CD2＝AD2．DCBAOHBODCADOHCAB【真题解读】（1）求证的是两条线段之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转．方法一：延长BD到F，使DF＝DC，再证△BCF≌△ACD；方法二：在AD上截取DG＝DC，连接CG，先证△DCG为等边三角形，再证△ACG≌△BCD；方法三：此题也可作垂线，构造全等；过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．先证△ACM≌△BCN，再证△MCD≌△NCD．DCBANMFOGEHBODCA【解后反思】当△ABC为等边三角形时，1ADCDBD，一般化，对于等腰△ABC不妨设AB＝BC，且∠ABC＝α，ADCDBD为多少呢？不妨先特殊化：α＝90°，60°，120°，ADCDBD的值分别为2，1，3（2）几何直观可以猜想，△BCD为等腰直角三角形，但无法证明．看此问题添加了条件∠BAD＝45°，图1图2图3联想到等腰直角三形，故设AD交⊙O于E，连接BE，则BE⊥ED，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，则∠CAE＝∠CBE＝15°，∵ECEC，∴∠CBE＝∠CDA＝15°，∴∠CAE＝∠CDA，∴AC＝CD＝BC，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠ADB＝45°－15°＝30°．【真题变式】1．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，△ACD为等边三角形，D在⊙O外，已知∠ADB＝45°，⊙O的半径为4，则AD的长为．ODCBA解：①∠CDB＝60°－45°＝15°；②∠CBD＝180°－60°－90°－15°＝15°；③DC＝CB＝AC＝AD；④AD＝AC＝42．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，△ACD为等边三角形，D在⊙O外，已知∠ABD＝30°，则ADAB的值为．ODCBA解：①设BD与⊙O相交于E，连接AE、EC，∵弧AE＝弧AE，∴∠ACE＝∠ABD＝30°＝∠DCE；②△DCE≌△ACE；③DE＝AE；④ADAB＝22．【真题解读】第三问：看条件AH＝OH，O为BC的中垂线AH上的动点，∴AO与BC相互垂直且平分，∴四边形ABOC为菱形．∴∠BOC＝∠BAC＝60°，∠BDC＝21∠BOC＝30°，看结论：要证BD2＋CD2＝AD2，要用勾股定理解题，而30°＋60°＝90°，故以BD为边向外作等边三角形BED，于是思路找到：先证△ABD≌△CBE，得到AD＝CE，在Rt△CED中，易得ED2＋CD2＝CE2，∴BD2＋CD2＝AD2．【真题变式】3．四边形ABCD中，∠BCD＝30°，连BD、△ABD为等边三角形，△BCD的外接圆圆心为O，若⊙O的半径为8，则S△ABD＝．163BDAC4．四边形ABCD中，∠BCD＝30°，AC＝6，AB＝BD＝AD，求△BCD的面积的最大值．CDBA解：以CD为边作等边△CDE，AD＝BD，DC＝DE，∠ADC＝60°＋∠BDC＝∠BOE，∴△ADC≌△BDE，∴AC＝BE．在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2，即BC2＋CD2＝AC2＝36≥2BC·CD，∴BC·CD≤18．5，S△BCD＝41BC·CD≤41×18＝29．5．四边形ABCD中，AB＝BC＝AC，AC⊥CD，若∠ABD＝45°，则∠ADB的度数为．CDBA【提示】方法一：作AE⊥BD于E，以AD为直径作圆O，则点E、C都在圆O上，∵△ABC为等边三角形，∠ABD＝45°，∴∠CBE＝15°．∵∠AEB＝90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠EAB＝45°，∠EAC＝15°，∴∠CDE＝15°，∴△CBD为等腰三角形，∴△ACD为等腰直角三角形，∠ADB＝30°．方法二：以C为圆心，CA为半径作⊙C，则⊙C过A、B两点，若D为⊙C外，设CD交⊙C于D`，则∠ABD`＝21∠ACD＝45°，则D、D`重合，若D在⊙O内，设CD交⊙C于D`，连接BD`，则∠ABD`＝21∠ACD＝45°，则D、D`重合，∴D在⊙O上，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝21∠ACB＝30°．6．四边形ABCD中，AB＝BC＝CA，AC⊥CD，若∠ADB＝30°，求∠ABD的度数．解：过A作AE⊥BD于E，以AD为直径作圆，则E、C在⊙O上，设∠ABD＝x，则∠CBE＝60°－x，∠EAC＝x－30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ACE＝∠BCE＝30°，EC＝EC．∴△BCE≌△ACE，∴∠CBE＝∠CAE，∴60°－x＝x－30°，ABCD∴x＝45°，即ABD＝45°．7．四边形ABCD中，AB＝AD＝BD，∠BCD＝30°，△BCD的面积为12，求线段AC长的最小值．解：以CD为边向外作等边三角形CDE．AD＝BD，CD＝DE，∠ADC＝60°＋∠BDC＝∠BDE．∴△ADC≌△BDE，∴AC＝BE，又在△BCE中，∠BCE＝∠BC