《圆的证明与计算》-专-题

用心爱心专心12012中考数学复习《圆的证明与计算》专题圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。用心爱心专心2四、范例讲解：（一）圆与相似1.（本小题满分8分）（2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM,连接OM、BC.求证：（1）△ABC∽△POM;(2)22OAOPBC.2、（2011山东日照）．（本题满分9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．3、（2011山东烟台，25，12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.ABCDEFP.OG（图1）.ABCDE.OG（图2）用心爱心专心3（二）圆与面积4、（2011•东营）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．5．（2011山东莱芜）(10分)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．(1)求⊙O的半径；(2)求证：EM是⊙O的切线；(3)若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45º时，求图中阴影部分的面积．6、（2011•临沂）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与OB相交于点D，且OD=BD，己知sinA=，AC=．（1）求⊙O的半径：（2）求图中阴影部分的面枳．7、（2011山东枣庄）．(本题满分8分)如图，点D在O⊙的直径AB的延长线上，点C在O⊙上，且AC=CD，∠ACD=120°.（1）求证：CD是O⊙的切线；（2）若O⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.AMDECOPBF第23题图用心爱心专心4APCOBED（三）圆与切线8.（2011山东菏泽）（本题10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC,AD交BC于点E,AE=2，ED=4,(1)求证:△ABE∽△ADB;(2)求AB的长；(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.9．（2011山东聊城）(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是BD⌒的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．(1)求∠AOD的度数；(2)求证：PD是半圆O的切线．10．（2011山东淄博）(9分)已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.（四）圆与新题型11．（2011山东德州）(本题满分10分)●观察计算当5a，3b时，2ab与ab的大小关系是__________．（第18题图）FDOCEBA用心爱心专心5当4a，4b时，2ab与ab的大小关系是__________．●探究证明如图所示，ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CDAB于D，设ADa，BD=b．（1）分别用,ab表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2ab与ab的大小关系是：____________．●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．（五）圆与动点12．（2011山东济宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.AxyBOCD(第23题)ABCOD用心爱心专心613．（2011山东德州）(本题满分12分)在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数）＞0(32xxy图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．1、【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分∴∠ACB=∠PMO………………3分∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P………………4分∴△ABC∽△POM………………5分(2)∵△ABC∽△POM,∴ABBCPOOM………………6分又AB=2OA,OA=OM,∴2OABCPOOA………………7分∴22OAOPBC………………8分2、答案．(本题满分9分)证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．…①…………………………………………2分AP23yxxyKO图1用心爱心专心7∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°-2∠ACO，即21∠AOC+∠ACO=90°.…②……………4分由①，②，得：∠ACD-21∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；………………5分（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．……………6分在Rt△ACD与△RtACD中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，………………………8分∴ACADABAC，即AC2=AB·AD．………9分3、【解】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴OEOFOFOP.∴OE·OP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴OPOFOFOE，∴OE·OP＝OF2＝r2.4、解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴==，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3．（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA•cos30°=S△AOD=×3×=．用心爱心专心8∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．5、答案：解：连结OE，∵DE垂直平分半径OA∴OC=1122OAOE,1322CEDE∴∠OEC=30°∴323cos3032ECOE（2）由（1）知：∠AOE=60°，AEAD,∴1302BAOE∴∠BDE=60°∵BD∥ME，∴∠MED=∠BDE=60°∴∠MEO=90°∴EM是⊙O的切线。（3）连结OF∵∠DPA=45°∴∠EOF=2∠EDF=90°∴90133==33242EOFEOFSSS2阴影扇形(3)3606、解答：解：（1）连接OA，∵以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．∴CO⊥AB，∵sinA==，∵AC=．∴假设CO=2x，AO=5x，4x2+21=25x2，解得：x=1，∴CO=2，∴⊙O的半径为2；（2）∵⊙O的半径为2；∴DO=2，∵DO=DB，∴BO=4，∴BC=2，∴2CO=BO，∵O⊥BC，用心爱心专心9∴∠CBO=30°，∠COD=60°，图中阴影部分的面枳为：S△OCB﹣S扇形COD=×2×2﹣=2﹣π．7、(本题满分8分)（1）证明：连结OC.∵CDAC，120ACD，∴30AD.…………………………2分∵OCOA,∴230A.∴290OCDACD.∴CD是O⊙的切线.………………………………4分（2）解:∵∠A=30o，∴1260A.∴2602360OBCS扇形23π.………6分在Rt△OCD中,tan6023CDOC.∴Rt112232322OCDSOCCD.∴图中阴影部分的面积为3223π.………………8分8答案、.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D,又∵∠BAE=∠E