微分方程解法总结

一阶或可降为一阶微分方程微分方程类型方程通式及解法可分离式微分方程dxxfdyyg)()(解为CxFyG)()(，其中dyygyG)()(，dxxfxF)()(齐次方程),(yxfdxdy且),(yxf中每一个单项式的yx,指数和相等（如3223432yxyyxx）令dxdyxudxdyxyu代入方程后再将u代回xy求解一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy解为dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(伯努利方程)1,0()()(nyxQxPdxdyn令dxdyyndxdzyznn)1(1则伯努利方程左右同乘nyn)1(后将z代入得到)()1()()1(xQnzxPndxdz按一阶线性微分方程解法求得z后反代得y全微分方程xQyPdyyxQdxyxP且0),(),(解为CdyyxQdxyxPyyxx00),(),(（可能解为隐函数），其中),(00yx为单连通域上适当点（一般取000yx）可降阶的高阶微分方程)()(xfyn直接对)(ny反复积分直至求得y),(yxfy令yp，则有),(pxfp可用一阶方式求解得)(xp再代回y继续运算),(yyfy令yp，则dydppdxdydydpy解得)(yp后代入y分离变量继续求解线性微分方程微分方程类型方程通式及解法常系数齐次线性微分方程（以二阶为例）0qyypy特征方程：02qprr)sincos()(,,212,1212121212121121xCxCeyirexCCyrrrreCeCyrrrrxxrxrxr时时为实根且时为实根且多于二阶依二阶方式，将特征根对应通解叠加，对k重根将C所在位置变为12321kkxCxCxCC常系数非齐次线性微分方程（以二阶为例）)(xfqyypy解为*yYy，其中Y为0qyypy的通解，*y为)(xfqyypy的特解中所有待定系数后得解，理求得，与上同、取不是、是特征方程单根或按，其中时当多元方程边系数相等解入原方程后根据等式两代，将同次多项式，系数待定与为，、、取程根、是单根、是重根不是特征方按其中时当)2()1()2()1(***10)(,max,sincos)(sin)(cos)()(210,)()()(mmmmxknlxmmxmkmxRRiiknlmxRxxRexyxxPxxPexfyPQkexQxyxPexf