15-16版四渐开线与摆线

四渐开线与摆线[学习目标]1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.[知识链接]1.已知圆的半径为r，AB所对的圆心角为φ，那么AB的长为多少？答案AB的长为rφ.2.向量e1＝(cosφ，sinφ)，则与e1垂直的单位向量e2是什么？答案e2＝(cos(φ±π2)，sin(φ±π2))，即为(－sinφ，cosφ)或(sinφ，－cosφ).[预习导引]1.渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆.2.摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线.3.圆的渐开线的参数方程：x＝rcosφ＋φsinφy＝rsinφ－φcosφ(φ是参数).4.摆线的参数方程是x＝rφ－sinφy＝r1－cosφ(φ是参数).要点一求圆的渐开线参数方程例1用向量的方法求半径为4的圆的渐开线参数方程.解以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0→的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧0AM的长和线段AM的长相等，记OA→和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝0AM＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA→＝(4cosθ，4sinθ)由几何知识知∠MAB＝θ，AM→＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得OM→＝OA→＋AM→.＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ)).又OM→＝(x，y)，因此有x＝4cosθ＋θsinθ，y＝4sinθ－θcosθ.(θ为参数)这就是所求圆的渐开线的参数方程.规律方法用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立适当的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y).(2)选取运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.跟踪演练1有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm，求齿廓所在的渐开线的参数方程.解因为基圆直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，由圆的渐开线方程可得齿廓线的渐开线的参数方程为x＝11cosφ＋φsinφ，y＝11sinφ－φcosφ.(φ为参数)要点二求摆线的参数方程例2如图所示，已知半径为2的圆，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α为参数(以弧度为单位)，求圆的摆线的参数方程.解当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧AM的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，向量OB→＝(2α，2)，向量MB→＝(2sinα，2cosα)，BM→＝(－2sinα，－2cosα)，因此OM→＝OB→＋BM→＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα)).动点M的坐标为(x，y)，向量OM→＝(x，y)，所以x＝2α－sinα，y＝21－cosα.(α为参数)这就是所求摆线的参数方程.规律方法1.圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.2.根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.跟踪演练2圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M(开始时位于O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程.解如图：xM＝OA＝OT－AT＝OT－BC＝r·φ－r·cos(φ－π2)＝r(φ－sinφ)，yM＝AM＝AB＋BM＝CT＋BM＝r＋r·sin(φ－π2)＝r(1－cosφ).即点M的轨迹方程为x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ.(φ为参数)1.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④答案C解析对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.2.圆x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可以是()A.πB.2πC.3πD.6π答案D解析根据条件可知摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)，把y＝0代入得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，则x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z).3.已知圆的半径为3，圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O，则M的轨迹方程是________.答案x＝3α－sinα，y＝31－cosα(α为参数)4.基圆直径为10，求其渐开线的参数方程.解取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角.∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：x＝5cosφ＋φsinφ，y＝5sinφ－φcosφ.(φ为参数)这就是所求的圆的渐开线的参数方程.1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程.