2011年高考数学二轮复习提前练3-1数列的概念与递推公式

华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！第3章第1节[基础强化]考点一：由数列的前几项写出数列的通项公式1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…(2)5,55,555,5555,55555，…(3)5,0，－5,0,5,0，－5,0，…解：(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an＝2n(2n－1)(2n＋1).(2)联想99…9n个＝10n－1，则an＝55…5n个＝59(99…9)n个＝59(10n－1)，即an＝59(10n－1)．(3)数列的各项都具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则an＝5sinnπ2.考点二：利用Sn与an的关系求通项公式2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n(n－40)，则下列判断正确的是()A．a19＞0，a21＜0B．a20＞0，a21＜0C．a20＜0，a21＞0D．a19＜0，a20＞0解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－40n－(n－1)2＋40(n－1)＝2n－41，所以当2n－41≥0时，n≥412，当2n－41≤0时n≤412，又因为2n－41随n的增大而增大，所以a1＜a2＜…＜a20＜0，且0＜a21＜a22＜….故选C.答案：C3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．解：Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.∴a1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)，∴{an}的通项公式为an＝3(n＝1)，2n(n≥2).4．已知数列{an}的各项均为正数，且Sn＝12(an＋1an)，求an.解：由n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1.∵a1＞0，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＝12(Sn－Sn－1＋1Sn－Sn－1)，整理得，S2n－S2n－1＝1.∴{S2n}是以S21＝1为首项，公差为1的等差数列．∴S2n＝1＋(n－1)·1＝n.华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！∵an＞0，Sn＝n，又S1＝1，∴当n∈N*时，Sn＝n；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－n－1.∵1－1－1＝1，∴n∈N*时，an＝n－n－1.考点三：由数列的递推关系式求数列的项或通项公式5．在数列{an}中，a1＝1，对任意n∈N*，有an＋1＝an1＋an，则a10等于()A．10B.110C．5D.15解析：由an＋1＝an1＋an，得1an＋1＝1＋1an.即1an＋1－1an＝1.∴{1an}是公差为1的等差数列，且首项为1a1＝1，∴1an＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝1n，∴a10＝110.答案：B6．(2010·银川调研)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝an＋14n2－1，则an＝________.解析：an＋1－an＝14n2－1＝1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)，由叠加法an－a1＝12(1－12n－1)⇒an＝4n－34n－2.答案：4n－34n－27．(2010·沈阳质检)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an＜12，2an－1，12≤an＜1，a1＝35，则数列的第2008项为________．解析：∵a1＝35，∴a2＝2a1－1＝15.∴a3＝2a2＝25.∴a4＝2a3＝45.a5＝2a4－1＝35，a6＝2a5－1＝15…，∴该数列周期为T＝4.∴a2008＝a4＝45.答案：458．分别求满足下列条件的通项公式．(1)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)；(2)已知数列{an}满足an＋1＝2n＋1·anan＋2n＋1，a1＝2.华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！分析：依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项差an－an－1或通项的商anan－1的规律．解：(1)∵数列{an}是首项为1的正项数列，∴an·an＋1≠0，∴(n＋1)an＋1an－nanan＋1＋1＝0，令an＋1an＝t，∴(n＋1)t2＋t－n＝0，分解因式得[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，∴t＝nn＋1，t＝－1(舍去)，即an＋1an＝nn＋1，到此可采用：解法一：累乘法．a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12·23·34·45·…·n－1n，∴an＝1n.解法二：特殊数列法．∵an＋1an＝nn＋1，∴(n＋1)an＋1nan＝1，∴数列{(n＋1)an＋1}是一个以a1为首项，1为公比的等比数列，∴nan＝a1·qn－1＝1×1＝1，∴an＝1n.(2)已知递推式化为1an＋1－1an＝12n＋1，∴1a2－1a1＝122，1a3－1a2＝123，1a4－1a3＝124，…1an－1an－1＝12n，将以上(n－1)个式子相加得1an－1a1＝122＋123＋124＋…＋12n，∴1an＝12(1－12n)1－12＝1－12n，∴an＝2n2n－1.[感悟高考]1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：解法一：由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，……a2－a1＝ln21，将以上n－1个式子累加得：华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnnn－1·n－1n－2·…·21＝lnn.∴an＝2＋lnn．故选A.解法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln1＋12＝2＋ln3，排除B.故选A.答案：A2．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.解析：∵a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：1；03．设a1＝2，an＋1＝2an＋1，bn＝|an＋2an－1|，n∈N*，则数列{bn}的通项bn＝________.解析：∵bn＋1＝|an＋1＋2an＋1－1|＝|2an＋1＋22an＋1－1|＝|2(an＋2)an＋1－(an－1)an＋1|＝|－2(an＋2)an－1|＝2bn，∴bn＋1＝2bn，又b1＝4，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1.答案：2n＋14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列，an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.[高考预测]1.令an为(1＋x)n＋1的展开式中含xn－1项的系数，则数列{1an}的前n项和为()A.n(n＋3)2B.n(n＋1)2C.nn＋1D.2nn＋1解析：an＝Cn－1n＋1＝C2n＋1＝n(n＋1)2，华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！1an＝2(1n－1n＋1)，则数列{1an}的前n项和为2(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝2nn＋1，故选D.答案：D2．已知数列{an}、{bn}满足：a1＝14，an＋bn＝1，bn＋1＝bn1－a2n.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，求实数a为何值时4aSn＜bn恒成立．解：(1)bn＋1＝bn(1－an)(1＋an)＝bnbn(2－bn)＝12－bn，∵a1＝14，b1＝34，∴b2＝45，b3＝56，b4＝67.(2)∵bn＋1－1＝12－bn－1，∴1bn＋1－1＝2－bnbn－1＝－1＋1bn－1，∴数列{1bn－1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列．∴1bn－1＝－4－(n－1)＝－n－3，∴bn＝1－1n＋3＝n＋2n＋3.(3)an＝1－bn＝1n＋3，∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝14×5＋15×6＋…＋1(n＋3)(n＋4)＝14－1n＋4＝n4(n＋4).∴4aSn－bn＝ann＋4－n＋2n＋3＝(a－1)n2＋(3a－6)n－8(n＋3)(n＋4).由条件可知(a－1)n2＋(3a－6)n－8＜0恒成立即可满足条件设f(n)＝(a－1)n2＋3(a－2)n－8.a＝1时，f(n)＝－3n－8＜0恒成立，a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立．a＜1时，对称轴－32·a－2a－1＝－32(1－1a－1)＜0，f(n)在(－∞，1]为单调递减函数．f(1)＝(a－1)12＋(3a－6)1－8＝(a－1)＋(3a－6)－8＝4a－15＜0，∴a＜154，∴a＜1时4aSn＜b恒成立．综上知：a≤1时，4aSn＜b恒成立．