2011年高考数学二轮复习提前练3-3等比数列

华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！第3章第3节[基础强化]考点一：判断或证明数列是等比数列1．关于数列有下面四个判断：①若a，b，c，d成等比数列，则a＋b，b＋c，c＋d也成等比数列；②若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；③若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，则{an}为等差或等比数列；④若数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am＝an(m≠n)．其中正确判断的序号是________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)．答案：②④2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，判断{an}是否成等比数列．解：当n＝1时，S1＝a1＝p；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.∴an＝p(n＝1)，(p－1)pn－1(n≥2).∴a2＝(p－1)p，a3＝(p－1)p2.(1)若p＝1或p＝0有a2＝a3＝0，此时{an}不是等比数列；(2)若p≠0且p≠1，则a2a1＝p－1，a3a2＝p.∵p－1≠p，∴数列{an}也不是等比数列．∴综上可知，数列{an}不是等比数列．考点二：等比数列的基本量的有关计算3．(2010·湖北调研)Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6等于()A．42B．－42C．±42D．±22解析：由S9＝9a5＝－36，得a5＝－4，∴b5＝－4.由S13＝13a7＝－104，得a7＝－8，∴b7＝－8.∴b26＝b5·b7＝32.∴b6＝±42.答案：C4．(2010·内蒙古赤峰)已知等比数列{an}，a2＝8，a5＝512.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公比为q，由a2＝8，a5＝512，可得a1q＝8，a1q4＝512.解得a1＝2，q＝4.所以数列{an}的通项公式为an＝2×4n－1.(2)由an＝2×4n－1，得bn＝log2an＝2n－1.所以数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝2的等差数列．故Sn＝1＋2n－12×n＝n2，即数列{bn}的前n项和Sn＝n2.考点三：利用等比数列性质解题5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1、a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60的值为()A．32B．64C．±64D．256解析：∵a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！∴a1·a99＝16.∴a250＝a1·a99＝16.又an＞0，∴a50＝4.∴a40a50a60＝a350＝43＝64.答案：B6．(2010·重庆模拟)已知数列{an}是等比数列，且a4·a5·a6·a7·a8·a9·a10＝128，则12a7＝________.解析：∵a4·a5·a6·a7·a8·a9·a10＝128，又a4·a10＝a5·a9＝a6·a8＝a27，∴a77＝128.∴a7＝2，∴12a7＝1.答案：1考点四：等比数列综合问题7．(2010·云南昆明)三个实数a，b，c成等比数列，若有a＋b＋c＝1成立，则b的取值范围是()A．[－13，1]B．(0，13]C．[－1,0)∪(0，13]D．[－13，0)∪(0,1]解析：本题主要考查等比数列的定义以及一元二次方程有解的充要条件．因为a，b，c成等比数列，所以a，b，c均不为0且c＝b2a，代入a＋b＋c＝1，得a＋b＋b2a－1＝0，整理得a2＋(b－1)a＋b2＝0，此方程有实数解，即Δ＝(b－1)2－4b2≥0，解得－1≤b≤13.又b≠0，所以－1≤b＜0或0＜b≤13.故选C.答案：C8．(2010·嘉兴模拟)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，T3＝15.(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解：(1)证明：a2＝2S1＋1＝3＝3a1；当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，∴an＋1＝3an，，即an＋1an＝3.∴数列{an}是公比为3的等比数列．(2)由(1)得an＝3n－1.设数列{bn}的公差为d(d＞0)，∵T3＝15，∴b2＝5.依题意有(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)，∴64＝(5－d＋1)(5＋d＋9)，d2＋8d－20＝0，得d＝2，或d＝－10(舍去)．故Tn＝3n＋n(n－1)2×2＝n2＋2n.[感悟高考]1.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．(n－1)2B．n2C．(n＋1)2D．n(2n－1)解析：∵a5·a2n－5＝22n＝a2n，an＞0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…an－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！＝log22n2＝n2.故选B.答案：B2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为________．解析：根据题意可知，当an为奇数时，an＋1为偶数，∴由a6＝1为奇数可以判定a5为偶数，∴a5＝2a6＝2.又当an＋1为偶数时，若an＋1是被3除余1的数，则an为奇数或偶数，否则an仍为偶数．a4可能为奇数也可能为偶数，∴a4＝4，依次有a3＝1，a2＝2，a1＝4，即m＝4.或者a3＝8，a2＝16，a1＝32或a1＝5.答案：4,5,323．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.解析：a4＝a1(12)3＝18a1，S4＝a1(1－124)1－12＝158a1，∴S4a4＝15.答案：154．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，∴{an}中的连续四项依次为－24,36，－54,81，∴q＝－3624＝－32，∴6q＝－9.答案：－95．已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．(1)若an＝3n＋1，是否存在m、k∈N*，有am＋am＋1＝ak？请说明理由；(2)找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an＋1an＝bn，并说明理由；(3)若a1＝5，d＝4，b1＝q＝3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．解：(1)由am＋am＋1＝ak，得6m＋5＝3k＋1，整理后，可得k－2m＝43，∵m、k∈N*，∴k－2m为整数．∴不存在m、k∈N*，使等式成立．(2)解法一：若an＋1an＝bn，即a1＋nda1＋(n－1)d＝b1qn－1，(*)(i)若d＝0，则1＝b1qn－1＝bn.当{an}为非零常数项，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求．(ii)若d≠0，(*)式等号左边取极限得limn→∞a1＋nda1＋(n－1)d＝1，(*)式等号右边的极限只有当q＝1时，才可能等于1.此时等号左边是常数，∴d＝0，矛盾．综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求．解法二：设an＝nd＋c.若an＋1an＝bn，对n∈N*都成立，且{bn}为等比数列，华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！则an＋2an＋1an＋1an＝q，对n∈N*都成立，即anan＋2＝qa2n＋1.∴(dn＋c)(dn＋2d＋c)＝q(dn＋d＋c)2对n∈N*都成立，∴d2＝qd2.(i)若d＝0，则an＝c≠0，∴bn＝1，n∈N*.(ii)若d≠0，则q＝1，∴bn＝m(常数)，即dn＋d＋cdn＋c＝m，则d＝0，矛盾．综上所述，有an＝c≠0，bn＝1，使对一切n∈N*，an＋1an＝bn.(3)an＝4n＋1，bn＝3n，n∈N*，设am＋1＋am＋2＋…＋am＋p＝bk＝3k，p、k∈N*，m∈N.4(m＋1)＋1＋4(m＋p)＋12p＝3k，∴4m＋2p＋3＝3kp.∵p、k∈N*，∴p＝3s，s∈N.取k＝3s＋2,4m＝32s＋2－2×3s－3＝(4－1)2s＋2－2×(4－1)s－3≥0，由二项展开式可得正整数M1、M2，使得(4－1)2s＋2＝4M1＋1，2×(4－1)s＝8M2＋(－1)s2，∴4m＝4(M1－2M2)－((－1)s＋1)2，∴存在整数m满足要求，故当且仅当p＝3s，s∈N时，命题成立.[高考预测]1.设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知得a1＋a2＋a3＝7，(a1＋3)＋(a3＋4)2＝3a2，解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q.又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝12.由题意得q＞1，∴q＝2.∴a1＝1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴数列{bn}是等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(b1＋bn)2＝n(3ln2＋3nln2)2＝3n(n＋1)2ln2.华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！故Tn＝3n(n＋1)2ln2.