15三角函数的应用新课落实

新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。11新课落实实效课堂助推您的教学，让课堂出彩！活动1知识准备如图1－5－16，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，将水送到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是__40__米．图1－5－16活动2教材导学阅读教材问题，回答下列问题：如图1－5－17，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，向东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行．请问该货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？图1－5－17分析：如图1－5－18，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝__BDAD__，∴BD＝__AD__·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝__CDAD__，∴CD＝__AD__·tan25°.又∵BD－CD＝BC，∴AD·tan55°－AD·tan25°＝20，解得AD≈__20.79__海里____(填“”“”或“＝”)10海里，∴该货轮__没有__触礁的危险．◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二、三►知识点一方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标所成的锐角．如图1－5－3所示，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别为北偏东15°，南偏东20°，北偏西60°.新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。22其中南偏东45°又习惯叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向．如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么G，E可以说G在O的西南方向，E在O的东南方向．图1－5－18►知识点二直角三角形边角的关系Rt△ABC的六个元素(三条边，三个角)中，除直角∠C外，其余五个元素之间的关系可以由直角三角形边角的关系得到．具体类型和关系式可参照本书第一章第4节知识点二中的表格．[注意]这些表达式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素．►知识点三直角三角形的应用1．解决实际问题，如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意，准确画出图形，从图中确定要解的直角三角形．2．在解决实际问题中，弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念．3．如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，构造出直角三角形，间接地解决问题．探究问题一三角函数在解决楼梯改造中的应用例1在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1－5－19①，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高；如图1－5－19②，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4米，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，楼梯占用地板的长度增加了多少米？(计算结果精确到0.01米，参考数据：tan40°≈0.839，tan36°≈0.727)图1－5－19[解析]根据在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°，在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．解：由题意可知，∠ACB＝θ1，∠ADB＝θ2.在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°.在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，得4tan40°＝d2tan36°，∴d2＝4tan40°tan36°≈4.616，新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。33∴d2－d1≈4.616－4＝0.616≈0.62(米)．答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米．[归纳总结]这类问题一般与坡度、坡角有关，熟悉坡度、坡角等知识，利用直角三角形的边角关系即可解决问题．探究问题二三角函数在航海问题中的应用例2如图1－5－20所示，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B点，此时测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．(1)试说明B点在暗礁区域外；(2)若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．图1－5－20[解析](1)说明B点在暗礁区域外，只要求出BC的长与16海里比较大小即可；(2)若该船继续向东航行，比较该船与岛的最短距离与16海里的大小，若大于16海里则没有触礁危险，否则有触礁危险．解：(1)∵AB＝36×0.5＝18(海里)，易知∠ADB＝60°，∠DBC＝30°，∴∠ACB＝30°.又易知∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝18海里＞16海里，∴B点在暗礁区域外．(2)有触礁危险．理由如下：如图1－5－21，过点C作CH⊥直线AB，垂足为H.图1－5－21在Rt△CBH中，∠BCH＝30°，令BH＝x海里，则CH＝3x海里．在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，∴AH＝3CH，即18＋x＝3·(3x)，解得x＝9.∴CH＝3x＝93(海里)16海里．∴该船继续向东航行有触礁的危险．[归纳总结]对于所求结果是边或角时，要按照题目中要求的精确度确定答案，并注明单位，对于说明性题型(如货轮是否有触礁危险)，除正确计算结果外，还要进一步对结果的意义进行说明．新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。44一、选择题1．如图1－5－22，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为()图1－5－22A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里[解析]D依题意，知MN＝40×2＝80(海里)，又因为∠M＝70°，∠N＝40°，所以，∠MPN＝70°，从而可知NP＝NM＝80海里，故选D.2．如图1－5－23所示，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝145°，BD＝500m，∠D＝55°，要使A，B，C，E在一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是()图1－5－23A．500sin55°mB．500cos55°mC．500tan55°mD．500sin45°m[答案]B3．[苏州中考]如图1－5－24，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()图1－5－24A．4kmB．23kmC．22kmD．(3＋1)km[解析]C如图1－5－25，过点A作AD⊥OB于点D.在Rt△AOD中，得出AD＝12OA＝2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD＝2km，则AB＝2AD＝22km.新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。55图1－5－25二、填空题4．如图1－5－26，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是________海里(结果不作近似计算)．图1－5－26[答案]635．如图1－5－27，现要测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，在D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为________m(结果保留根号)．图1－5－27[答案]303[解析]先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD为等腰三角形，得AD＝CD，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．6．如图1－5－28所示，某船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行________分钟可使船到达离灯塔距离最近的位置．图1－5－28[答案]15[解析]可过点M作MH⊥直线AB于点H，则点M，H之间的距离就是该船继续沿正东方向航行过程中距灯塔M的最近距离．根据题意，得BA＝BM，然后可求出BH.7．如图1－5－29，小明骑自行车以15km/h的速度在公路上向正北方向匀速行驶，出发时，在点B处他观察到仓库A在他的北偏东30°方向上，骑车20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为________km(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1km)．新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。66图1－5－29图1－5－30[答案]1.8[解析]如图1－5－30，过点A作AD⊥BC，交BC于点D，通过两个直角三角形进行求值．8．如图1－5－31，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向上，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向上，又航行了半小时到达C处，此时望见渔船D在南偏东60°方向上，若海监船的速度为50海里/时，则A，B之间的距离为________海里(取3≈1.732，结果精确到0.1)．图1－5－31[答案]68.3三、解答题9．[铜仁中考]如图1－5－32，一艘轮船航行到B处，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)图1－5－32解：过点A作AD⊥BC于点D，由题意得BC＝200海里，∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠BAD＝60°，∠D＝90°，∴∠BAC＝30°＝∠B,∠CAD＝30°.∴AC＝BC＝200海里．∴CD＝12AC＝100海里．∴AD＝3CD≈173.2海里．∵173.2170，∴轮船无触礁的危险．10．如图1－5－33所示，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离；(2)若货轮以45海里/时的速度由A处沿正东方向向海警舰靠拢，海盗船以50海里/时的新课标(HK)数学九年级下册版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式使用上述作品。否则，追究转载人及转载媒体的法律责任。77速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度至少应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？(结果保留根号)图1－5－33图1－5－34[解析](1)由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AB边上的高，转化为两个直角三角形求解．(2)求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论．解：(1)如图1－5－34所示，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD.在Rt△CDB中，∵∠CBD＝30°，∴DCBD＝tan30°，∴BD＝3CD.∵AD＋BD＝CD＋3CD＝2