2011级(2013年11月考试)绵阳一诊文科数学试题及答案

数学（文科）试题第1页（共4页）保密★启用前【考试时间：2013年11月1日15:00—17:00】绵阳市高中2011级第一次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A=[2，4]，集合B=[1，4]，则BA=A．[1，2]B．{1，2}C．21，D．12，2．对于非零向量a，b，“a//b”是“a+b=0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列不等式中，正确的是A．sin1sin1ºB．cos1cos1ºC．sinπºcosπD．sinπcosπº4．若命题“pq”是假命题，则A．pq为假命题B．pq为真命题C．(p)(q)为假命题D．(p)(q)为真命题5．若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与b的夹角为数学（文科）试题第2页（共4页）A．0B．2C．3D．π6．已知tanα=3，πα23π，则cosα-sinα=A．231B．231C．231D．2317．已知函数f(x)=xxkaa(a0，且a≠1)在R上是奇函数，且是增函数，则函数g(x)=loga(x-k)的大致图象是A．B．C．D．8．已知正实数a，b满足lna+lnb=ln(a+b)，则4a+b的最小值为A．1B．4C．9D．109．已知，都是锐角，且5cos5，4sin()5，则tan为A．2B．211C．211或2D．112或-210．已知O为△ABC的外心，1cos3A，若AOABAC，则的最大值为A．13B．21C．32D．43第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a5=__________．12．化简：32aa（其中a0）=_________（用分数指数幂表示）．13．已知变量x，y满足约束条件10101xyxyy，，，则z=2x+y的最大值为________.14．已知f(x)是R上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等式|f(1+lnx)|1的解集是__________．15．已知函数f(x)=m(x-m)(x-m-1)，g(x)=x2-1，若命题p：x∈(3，+∞)，f(x)g(x)≤0xOy21xOy-11xOy21xOy-11数学（文科）试题第3页（共4页）为假命题，则实数m的取值范围为__________．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）设函数()2sin()cos3fxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）讨论()fx在[0]2，上单调性．17．（本题满分12分）已知{an}为等差数列，且a4=14，a5+a8=48．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn是等比数列{bn}的前n项和，若b1=a1，且3S1，2S2，S3成等差数列，求S4．18．（本题满分12分）已知函数()ln2afxxx.（Ⅰ）若函数()fx的图象在(1(1))f，处的切线方程为y=2x+b，求ab，的值；（Ⅱ）若()fx≥0对任意x0恒成立，求a的最小值.19．（本题满分12分）安通驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD，道路的平面图如图所示（单位：km），已知曲线段ASB为函数y=Asin(ωx+φ)(A0，0ω1，|φ|2)，x∈[0，3]的图象，且最高点为S(1，2)，折线段AOD为固定线路，其中AO=3，OD=4，折线段BCD为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD=120º．（Ⅰ）求A，ω，φ的值；（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段道路BCD最长？20．（本题满分13分）已知函数f(x)=x2+bx+2，g(x)=|x2-1|，x∈R．（Ⅰ）若函数f(x)满足f(1+x)=f(2-x)，求使不等式f(x)≥g(x)成立的x的取值集合；（Ⅱ）若函数h(x)=f(x)+g(x)+2在(0，2)上有两个不同的零点x1，x2，求实数b的取值范围．21．（本题满分14分）ASBCD13xyO数学（文科）试题第4页（共4页）已知函数2()xfxexax．（Ⅰ）若a0，求f(x)在[-2，0]上的最大值；（Ⅱ）如果函数f(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，x1x2．①证明x1ln2；②求f(x1)的最小值，并指出此时a的值．数学（文科）试题第5页（共4页）绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBDDBAACAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．56a13．514．21()ee，15．m0或m2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（I）xxxxfcos)3sincos3cos(sin2)(xxx2cos3cossin2)2cos1(32sin21xx133sin2cos2222xx23)32sin(x，……………………………………………6分∴22T，即f(x)的最小正周期为π．…………………………………7分（II）由22πkπ≤23πx≤22πkπ，可得12πkπ≤x≤512πkπ，k∈Z，由22πkπ≤23πx≤322πkπ，可得512πkπ≤x≤1112πkπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为5[]1212ππkπkπ，，k∈Z，单调递增区间为11[]1212ππkπkπ，，k∈Z，∴f(x)在[5012π，]上是减函数，在[52ππ，]上是增函数．………………12分17．解：（I）设{an}的公差为d，则由题知，，4874143111dadada解得a1=2，d=4．……………………………………4分∴an=2+4(n-1)=4n-2．…………………………………………………………6分（II）设{bn}的公比为q，若q=1，则S1=b1，S2=2b1，S3=3b1，由已知312322SSS，代入得8b1=4b1，而b1≠0，故q=1不合题意．…………………………………………………………7分若q≠1，则S1=b1，qqbS1)1(212，qqbS1)1(313，于是23111(1)(1)22311bqbqbqq，数学（文科）试题第6页（共4页）整理得：4q2=3q+q3，解得q=0（舍去），q=1（舍去），q=3，………10分∴8031)31(244S．………………………………………………………12分18．解：（I）∵21)(xaxxf，∴由题意知(1)2f，即1-a=2，解得a=-1．于是f(1)=-1-2=-3，∴-3=2×1+b，解得b=-5．…………………………………………………6分（II）由题知ln2axx≥0对任意x0恒成立，即a≥2lnxxx，令xxxxgln2)(，∴xxxgln1)1(ln2)(．………………………………………………8分显然当0xe时，0)(xg，即得g(x)在(0，e)上是增函数，当x≥e时，()gx≤0，即得g(x)在e，上是减函数．∴eegxg)()(max．∴a≥e，即a的最小值为e．………………………………………………12分19．解：（I）由已知A=2，且有3)0sin(2，即23sin，由||2得3．又∵最高点为(1，2)，∴，2)3sin(2解得6．∴)36sin(2xy．…………………………………………………………6分（II）∵B点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63Bππy=1，∴2)34(122BD．…………………………………………………8分在△BCD中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180º-120º-θ=60º-θ．由正弦定理有)60sin(sin120sinBCCDBD，∴sin362CD，)60sin(362BC，…………………………………9分∴)]60sin([sin362CDBC]sin21cos23[sin362)3sin(362．∴当且仅当6时，折线段BCD最长，最长为362千米．……………12分数学（文科）试题第7页（共4页）20．解：（I）由于f(1+x)=f(2-x)知函数f(x)关于23x对称，即232b，解得b=-3，于是f(x)=x2-3x+2．………………………………3分22111()111xxxgxxx，或，，，当x≤-1，或x≥1时，由f(x)≥g(x)有x2-3x+2≥x2-1，解得x≤1，∴此时x的范围为x≤-1，或x=1．当-1x1时，由f(x)≥g(x)有x2-3x+2≥1-x2，解得x≤12或x≥1，∴此时x的范围为-1x≤21．∴综上知，使不等式f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|x≤12或x=1}．………………………………………………………………7分（II），，，或，1151132)(2xbxxxbxxxh若b=0时，22311()511.xxxhxx，或，，显然h(x)0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分若b≠0时，函数(x)=bx+5在(0，1)上是单调函数，即(x)在(0，1)上至多一个零点，不妨设0x1x22．①如果0x11，1≤x22时，则0)1()0(，且(1)(2)hh≤0，即50(5)(211)0bbb，，解得112≤5b．经检验211b时，)(xh的零点为1011，2（舍去），∴1125b．②若1≤x1x22时，2(1)1(2)0124240hhbb，，，，即，或，，，626248011205bbbbb得：-5≤26b．∴综上所述b的取值范围为11262b．……………………………12分21．解：（I）∵)0(2)(aaxexfx，∴当x∈[-2，0]时，0)(xf，即f(x)在[-2，0]上是增函数，∴1)0()(maxfxf．…………………………………………………………4分（II）∵函数f(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，∴方程ex-2x-a=0有两个不同的零点x1，x2．令h(x)=ex-2x-a．①2)(xexh，数学（文科）试题第8页（共4页）当2lnx时，0)(xh，h(x)是减函数；当2lnx时，h(x)0，h(x)是增函数，∴)(xh在x=ln2时取得最小值．∴x1ln2．………………………………………………………………………9分②∵h(x1)=0，即0211axex，∴121xeax．于是21111211111)1()2()(xexxx