2011考研数学一真题(3页打印版,附答案5页)

2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(xxxxy拐点A（1，0）B（2，0）C（3，0）D（4，0）2设数列na单调递减，nkknnnnaSa1,2,1(,0lim）无界，则幂级nknkxa1)1(的收敛域A(-1,1]B[-1,1)C[0,2)D(0,2]3.设函数)(xf具有二阶连续导数，且0)0(,0)(fxf，则函数)(ln)(yfxfz在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A0)0(,1)0(ffB0)0(,1)0(ffC0)0(,1)0(ffD0)0(,1)0(ff4.设444000cosln,cotln,sinlnxdxKxdxJxdxI的大小关系是、、则KJIAIJKBIKJCJIKDKJI5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记,010100001,01001001121PP则A=A21PPB211PPC12PPD112PP6.设),,,(4321A是4阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0Ax的一个基础解系，则0*xA的基础解系可为A31,B21,C321,,D432,,7.设)(),(21xFxF为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21xfxf是连续函数，则必为概率密度的是A)()(21xfxfB)()(222xFxfC)()(21xFxfD)()()()(1221xFxfxFxf8.设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=AEUEVBEXEYCEUEYDEXEV二填空题9.曲线)40(tan0xxtdty的弧长s=____________10.微分方程xeyyxcos满足条件y(0)=0的解为y=____________11.设函数xydtttyxF021sin),(，则__________022xxF12.设L是柱面方程为122yx与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分___________22dzyxdyxzdx13.若二次曲面的方程为42223222yzxzaxyzyx，经正交变换化为442121zy，则a_______________三解答题15求极限110))1ln((limxexxx16设))(,(xygxyfz，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12yxyxz17求方程0arctanxxk不同实根的个数，其中k为参数。18证明：1）对任意正整数n，都有nnn1)11ln(112）设),2,1(lnn1211nnan,证明}{na收敛。19已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,Dadxdyyxf),(，其中}10,10),{(yxyxD，计算二重积分dxdyyxxyIDxy),(。20.T)1,0,1(1，T)1,1,0(2，T)5,3,1(3不能由Ta)1,,1(1，T)3,2,1(2，T)5,3,1(3线性表出，求a；将1，2，3由1，2，3线性表出。21.A为三阶实矩阵，2)(AR，且101101101101A（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。22.X01P1/32/31)(22YXP求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）XY23.设nxxx,,21为来自正态总体),(20N的简单随机样本，其中0已知，02未知，_x和2S分别表示样本均值和样本方差。1）求参数2的最大似然估计口22）计算E(口2)和D(口2)Y-101P1/31/31/3答案：CCABDDDB填空题：9.)21ln(10xeyxsin11412131a14)(2215解：原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(0201]))1ln((1[limeeexxxxxexxxxxxexxxxxxx16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221fffyxzxygxyfxgxygxyfxyxygxyfyxzxgyxygxyfyxygxyfxzx17解：）内。，及（（），（别位于所以方程有三个根，分又因为极大值极小值即当所以因为显然令时，当令极大值为极小值为为极大点为极小点，所以，时，当时，当时，当得时，由即）当（所以方程只有一个根。又因为单调减少，所以除去可能一点外时，即当令1)1,1,1,)(lim,)(lim,011arctan,011arctan,011arctan),0(0)0()(,0arctan2)(,0)0(,arctan)1(11arctan)(,01,1,11arctan,11arctan110)(),1(;0)()1,1(,0)()1,(,10)(1,012,)(lim,)(lim)(),0)((0)(1,01)1(11)(arctan)(x222kkkkxfxfkkkkkkkkktgtgtttggtttkkktgtktkkkkkkkkxkxxfkxxfkkxxfkxkxxfkkxfxfxfxfxfkkxxkxfxxkxfxxx18证明：。单调递减有界，故收敛单调递减即其中即应用中值定理，在nnnnnnnnnnannnnnnnnnnaaaaaannnnnnaannannnnnnnnnnxxf01lnln)1ln(ln1ln2/3ln2lnln)11ln()211()111ln(12/11,01,111ln)1ln(11)1ln(112/11)2(11)11ln(1111,111111,101111ln)11ln()11ln(]1,0[)1ln()()1(111119.解：adxdyyxfdxyxfdydxyxfdydyyxxfdxyxfxdydyyxfyxdxxxfdyyxfyxdxdxxfxdyyxfyxdxIdyyxfyxfyyxfyddyyxfydyyxfyxdxdxdyyxfxyIDxxxxxxxyxxyxxyDxyxy),(),(]),(),([),(),()1,(),()1,(),(,),(),(),(),(),(),(10101010101010101010101010101010101010101010于是，20解：321132123211321321321321321321321321000242100021142100010001101321111106310101420321111410310101531321111511300101),,,)(250,3)(,,3),,(01531110101,,)1于是，，，解得，，于是，，线性表示，，，不能由又arr21.解：1)001000100000010001,000010001,0212110002121),,Q,010,10121,101212010000,32)(101101,1,1,,A1011013213213210000332133212122112131313T13T2TTxxxxQQAAQQrrrrrrAAxxxAArAA于是则（令单位化得：）解得即为实矩阵，所以有的特征向量的相应于为矩阵令故，向量为对应的线性无关的特征的特征值为，根据特征值向量的定义则，令22.解：同理如图：，即,31)1,1(31)11()1,0()1(0)0,1()1,0()1,0(,0)(1)()12222YXPYXPYXPYPYXPYXPYXPYXPYXPY-101X01/301/301/301/31/311/31/31/331)1,1()1(31)1,0()1,0()1,0()0,0()0(,31)1,1()1(101)2YXPXYPYXPYXPYXPYXPXYPYXPXYPZ、、取值为Z-101P1/31/31/30,32,92,0,0,32)3XYDYDXEXYEYEX23.解：nnnDnnDxnxnxxDnxEnEnxEnxxnxnLddxnnLexfxfxfniiniiniiniiniiniiniiniiniiniixnnnnii42422221021022104120242212022212022120212022412022212022)(2122)ˆ(2)/ˆ())((D2))((D),(~)(2))(1(ˆD,))(1(ˆ)(1).(~)(1)2(.)(102)(2ln2)(ln22lnln)2(1)()()(L)1(2120则右式所以有因为于是所以因为的极大似然估计值得令取对数得，似然函数