2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第3篇2-3

第三篇第2章第三讲一、选择题1．(文)抛物线y＝x2的准线方程是()A．4y＋1＝0B．4x＋1＝0C．2y＋1＝0D．2x＋1＝0[答案]A[解析]x2＝y中2p＝1，∴p2＝14，∴准线y＝－14，即4y＋1＝0.(理)抛物线y＝ax2的准线方程为y＋1＝0，则a＝()A.14B.12C．－14D．－12[答案]A[解析]∵y＝ax2∴x2＝1ay，∴准线方程为y＝－14a∴－14a＝－1，∴a＝14，故选A.2．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝－x对称，则C2的准线方程是()A．x＝－18B．x＝12C．x＝18D．x＝－12[答案]C[解析]抛物线C1：y＝2x2的准线方程为y＝－18，其关于直线y＝－x对称的抛物线C2：y2＝－12x的准线方程为x＝18.故应选C.3．(文)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]由x2＝4y知其准线方程为y＝－1，据抛物线的定义，点A与焦点的距离等于点A与准线的距离，显然A的纵坐标为4.其距离为5.(理)抛物线y2＝8x上的点(x0，y0)到抛物线焦点的距离为3，则|y0|＝()A.2B．22C．2D．4[答案]B[解析]设点A(x0，y0)，过点A作AA1⊥l(l为准线)，则|AF|＝|AA1|＝x0＋2＝3即x0＝1，代入抛物线方程得|y0|＝8x0＝22，故选B.4．(09·山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x[答案]B[解析]由抛物线方程知焦点Fa4，0，∴直线l方程为y＝2x－a4，与y轴交点A0，－a2.∴S△OAF＝12·|OA|·|OF|＝12·－a2·a4＝a216＝4.∴a2＝64，a＝±8.故y2＝±8x.故选B.5．(文)已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.112B．4C.92D．5[答案]C[解析]如图，焦点F(12，0)，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－12＝(72－12)2＋42－12＝5－12＝92，故选C.(理)(08·辽宁)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92[答案]A[解析]记抛物线y2＝2x的焦点为F12，0，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于122＋22＝172，选A.6．(文)对于任意n∈N*，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2011B2011|的值是()A.20102011B.20112012C.20092010D.20092008[答案]B[解析]设An(xn,0)，Bn(x′n,0)，则xn＋x′n＝2n＋1n2＋n，xnx′n＝1n2＋n，|AnBn|＝|xn－x′n|＝(xn＋x′n)2－4xnx′n＝2n＋1n2＋n2－4n2＋n＝1n2＋n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，∴当n＝2011时，结果为20112012.[点评]由条件知An、Bn的横坐标x1、x2是方程(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0的两根，∴x1＝1n＋1，x2＝1n，∴|x1－x2|＝1n－1n＋1.(理)已知点M是抛物线y2＝2px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝OF＋CM2＝ON＋CM2＝DM2＝MF2，∴此圆与y轴相切．7．(文)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4][答案]C[解析]由y＝k(x＋2)y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝4，由Δ＝0得，k＝±1，结合图形知选C.(理)定点N(1,0)，动点A、B分别在图中抛物线y2＝4x及椭圆x24＋y23＝1的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l的取值范围是()A.23，2B.103，4C.5116，4D．(2,4)[答案]B[解析]易知N为抛物线和椭圆的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线及椭圆的定义知，焦半径|AN|＝x1＋1，|BN|＝12(4－x2)，又|AB|＝x2－x1，∴周长l＝|AB|＋|AN|＋|BN|＝3＋12x2，由y2＝4xx24＋y23＝1得交点的横坐标为23，∴23x22.∴103l4.8．(09·全国Ⅰ)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B．2C.5D.6[答案]C[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax，与抛物线方程联立得x2±bax＋1＝0，Δ＝±ba2－4＝0⇒b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝5，故选C.9．(福建厦门)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝()A.π6B.π4C.π3D.5π12[答案]A[解析]如图，过点N向准线引垂线，垂足为P，由抛物线的定义知|NP|＝|NF|＝32·|MN|.在Rt△NMP中，sin∠NMP＝|NP||NM|＝32⇒∠NMP＝π3⇒∠NMF＝π6，故选A.10．(北京崇文)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线[答案]A[解析]P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．二、填空题11．(文)设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA→·OB→＝________.[答案]－34[解析]设直线AB：x＝my＋12，代入y2＝2x中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝－34.(理)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．12．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线x216－y29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[答案]12，138或12，78[解析]设圆心为(a，b)，则a0，b0.∵y2＝2x的准线方程为x＝－12，x216－y29＝1的渐近线方程为3x±4y＝0.由题意知a＋12＝1，则a＝12，|3a±4b|5＝1，解得b＝138或b＝78，∴圆心坐标为12，138或12，78.13．已知抛物线y2＝2px(p0)，过(2p,0)作直线交抛物线于A、B两点，给出下列结论：①OA⊥OB；②△ABO重心必是抛物线焦点；③△ABO面积最小值为4p2.其中正确的结论是________．[答案]①③[解析]由x＝my＋2py2＝2px得：y2－2pmy－4p2＝0，∴y1y2＝－4p2，y1＋y2＝2pm，x1x2＝4p2，kOA·kOB＝－1，S＝p|y1－y2|＝p·(2pm)2－16p2≥4p2.14．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．[答案]42[解析]设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，水面升高1米时，即y＝－1时，x＝±22.则水面宽为42米．三、解答题15．(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[解析](1)由题意得：(x－1)2＋y2－x＝1，化简得：y2＝4x(x≥0)．∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设直线AB为y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k(x－m)y2＝4x，得ky2－4y－4km＝0，∴y1＋y2＝4k，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[点评](1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.(理)如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0，b≠0)，且交抛物线y2＝2px(p0)于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)证明：1y1＋1y2＝1b；(3)当a＝2p时，求∠MON的大小．[解析](1)直线l的截距式方程为xa＋yb＝1.①(2)证明：由①及y2＝2px消去x可得by2＋2pay－2pab＝0②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1＋y2＝－2pab，y1y2＝－2pa.所以1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝－2pab－2pa＝1b.(3)设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1＝y1x1，k2＝y2x2.当a＝2p时，由(2)知，y1y2＝－2pa＝－4p2，由y21＝2px1，y22＝2px2相乘得(y1y2)2＝4p2x1x2，x1x2＝(y1y2)24p2＝4p2，因此k1k2＝y1y2x1x2＝－4p24p2＝－1，所以OM⊥ON，即∠MON＝90°.16．已知抛物线y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(1)若OA→·OB→＝4，求直线AB的方程．(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值范围．[解析](1)设直线AB的方程为y＝kx－2(k≠0)，代入y2＝4x中得，k2x2－(4k＋4)x＋4＝0①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k＋4k2，x1x2＝4k2.y1y2＝(