17广义传播律的应用

一、协因数与协因数阵二、权阵三、协因数传播律四、广义传播律在测量中的应用回顾协因数和协因数传播律1.由三角形闭合差求测角中误差四、广义传播律在测量中的应用2.用不等精度的真误差计算单位权中误差3.由双观测值之差求中误差由一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。n，，，21n，，，21)(~2，iiNL)0(~2，Ni观测值的方差为iLn2ˆ四、广义传播律在测量中的应用2.用不等精度的真误差计算单位权中误差的计算公式nLLL，，，21一组同精度独立观测值数学期望、方差和权分别为:、和i2iipiiiL)(~2iiiNL，)0(~2iiN，设是一组同精度独立的真误差iiiip111iiipppnpn20ˆ四、广义传播律在测量中的应用2.用不等精度的真误差计算单位权中误差的计算公式nLLL，，，21现在设是一组不同精度的独立观测值设对量，分别观测两次，得独立观测值和权：nXXX，，，21观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为一个观测对，这种成对的观测，称为双观测。iLiLiX四、广义传播律在测量中的应用3.由双观测值之差求中误差nLLL，，，21第一次：nLLL，，，21第二次：nppp，，，21权：对内精度相同，对间不同。两次观测值的差数：第i对观测值平均值的方差：iiiLLd)21(ni，，，iiiiiidddLLXXi0)()~~(iiidppppi21112idppinpddnpddd2ˆ20iLLpii12022iLXpii2122022观测值和的方差：iLiL四、广义传播律在测量中的应用3.由双观测值之差求中误差由权倒数传播律：单位权方差：例1-13：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于表1-4，试求(1)每千米观测高差的中误差；(2)第二段观测高差的中误差；(3)第二段高差平均值的中误差；(4)全长一次（往测或返测）观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。高差/m段号'iLiL均值ix'iiiLLdiidd距离S/kmiiiiiiSddddp12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+3.244+0.352+1.440-3.356-3.702+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4[]-2.02215.292.5)(0.3105.922][0mmnpddkm解(1)令C=1，即令1km观测高差为单位权观测值。则单位权中误差（每千米观测高差的中误差）为例1-13：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于表1-4，试求（1）每千米观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差；（3）第二段高差平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差及全长高差平均值的中误差。高差/m段号'iLiL均值ix'iiiLLdiidd距离S/kmiiiiiiSddddp12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+3.244+0.352+1.440-3.356-3.702+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4[]-2.02215.292.5解)(4.5)(2.30.3122mmmmpkm(2)第二段观测高差的中误差为(3)第二段高差平均值的中误差为)(8.3222mmx例1-13：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于表1-4，试求（1）每千米观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差；（3）第二段高差平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差及全长高差平均值的中误差。高差/m段号'iLiL均值ix'iiiLLdiidd距离S/kmiiiiiiSddddp12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+3.244+0.352+1.440-3.356-3.702+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4[]-2.02215.292.5解(5)全长高差平均值的中误差为(4)全长一次观测高差的中误差为)(7.11)(2.150.3][mmmmskm全)(3.827.112mmx全全内容总结1.测角中正倒镜是为了消除偶然误差。（）判断题知识点：“正倒镜”即用盘左、盘右两个位置观测水平角，目的是为了消除仪器误差中“水平度盘偏心差”。通过将同一目标方向在水平度盘对径分划处读数平均，可消除水平度盘偏心差。因此，“水平度盘偏心差”是系统误差。偶然误差和系统误差的定义区别3.观测值与最佳估值之间之差为真误差。（）知识点：真误差概念：“真误差为真值与观测值的差值”。2.下列哪些是偶然误差：A.钢尺量边中的读数误差；B.测角时的读数误差；C.钢尺量边中，由于钢尺名义长度与实际长度不等造成的误差；D.垂直角测量时的竖盘指标差。4.偶然误差符合统计规律。（）知识点：偶然误差的四个统计规律：有界性，聚中性，对称性，抵偿性5.权一定无单位。（）知识点：“同类观测值”，权无单位；“不同类观测值”，权有单位。202iip6.各观测值权之间的比例关系和观测值中误差没有关系。（）知识点：观测值的权与观测值方差成反比，权之间的比例关系与所选的单位权中误差没有关系。判断题内容总结7.已知两段距离的长度及其中误差为和，这两段距离的真误差相等，最大限差相等。（）300.1583.5mcm600.6863.5mcm知识点：衡量精度的常用精度指标：中误差（方差）、平均误差、或然误差、最大限差和相对误差。注意：中误差表示的是真误差的分布范围，并不代表任何具体的真误差。8.如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X和Y的协方差为0，则X和Y相互独立。（）知识点：协方差可描述两个观测量之间的独立与相关性。即对于正态分布的观测值而言，协方差为0与相互独立是等价的。判断题内容总结1.几个名词偶然误差系统误差粗差误差真误差精度准确度精确度方差中误差平均误差或然误差极限误差相对误差衡量精度的指标权注意单位：同类观测量；不同类观测量内容总结2.一个事实不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3.基本假设在本课程中我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。4.统计规律在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值——有界性绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大——聚中性绝对值相等的正负误差出现的概率相同——对称性偶然误差的数学期望为零——抵偿性内容总结5.协方差阵[(())(())]TLLDELELLEL2112122122212nnnnn2.协方差阵为对称阵；几点说明：3.主对角元素是第i组观测值的方差；4.非主对角元素是第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用来描述观测值i和观测值j之间的相关程度；1.E(L)是观测向量的期望；5.观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；6.观测值为等精度独立观测值时，协方差阵为数量矩阵。内容总结6.互协方差阵111)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTXYDYEYXEXED)))())((((若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测向量。XXDX的协方差阵YYDY的协方差阵XYD向量X关于向量Y的互协方差阵内容总结7.两个传播律线性函数00FFXYKKXZTXXYZTXXZYTXXYYTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD协方差传播律TXXZYTXXYZTXXYYTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ协因数传播律广义传播律内容总结7.两个传播律非线性函数首先将函数线性化，线性化方法（泰勒级数和全微分法），然后再进行相关计算。将非线性函数在处按照泰勒公式展开如下：00012nXXX)()(),,,(0110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010),,,(iniinXkXXXfk002211kKXkXkXkXkZnn(1)泰勒级数法：(2)全微分法：KdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(002010210,,,)(),,2,1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdX内容总结2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化，偏导数是将观测值代入求解得到8.解题步骤1.按要求写出函数式，如：12,,,,1,2,,iinZfXXXit1212000,1,2,,iiiinnfffdZdXdXdXitXXX4.将微分关系写成矩阵形式：ZKXdorZKdX5.应用协方差传播律或协因数传播率求解具体问题3.注意单位的统一，角度要转换为弧度制内容总结9.测量中的具体应用测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，权与测站数成反比ABhS公里各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比，权与距离成反比(1)水准测量iiNCpiiSCp站NABh内容总结(2)同精度独立观测值的算术平均值xNN个同精度独立观测值的算术平均值的中误差=各观测值中误差除以，权与N成正比N(3)若干独立误差的联合影响12zn222212Zn观测结果=各独立误差所对应的方差之和CNpii9.测量中的具体应用内容总结10.协因数阵nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221XXQ协因数阵协因数阵的特点：1.主对角元素是随机变量的协因数，即权倒数。iXiiQ2.非主对角元素是随机变量关于随机变量的互协因数，且有，因此协因数阵也为对称阵。iXjiQijjXjiijQQ3.表明随机变量与随机变量独立，不相关。iXjiQij0jX内容总结权阵说明：1212222111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP则，称为的权阵。XXXP对于相关的观测向量，我们令IQPQPXXXXXXXX1X11.权阵注意：求观测值权的方法，通过协因数阵主对角线元素进行求解。1.独立观测值的协因数阵、权阵是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。XXPXXQXXP2.当观测值相关，其协因数阵、权阵是非对角阵，权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。XXPXXQiXXXP内容总结nnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121权倒数传播律加权平均值nppx情况一：“同精度”情况二：“不同精度”pLxpxppLxn带权平均值的权