直线与方程知识点总结与例题

直线与方程知识点总结1、直线的斜率与倾斜角(1)斜率①两点的斜率公式：1122(,),(,)PxyQxy，则212121()PQyykxxxx②斜率的范围：kR(2)直线的倾斜角范围：[0，π）（3）斜率与倾斜角的关系：tan(90)k注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。例题1：设直线l过坐标原点,它的倾斜角为a,如果将直线L绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线L1,求直线L1的倾斜角解：（1）当0≤a＜135°时,L1的倾斜角为a+45°（2）135≤a＜180°,则a+45°≥180°,此时倾斜角为a+45°-180°=a-135°2、直线方程(1)点斜式：00()yykxx；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：ykxb；适用于斜率存在的直线注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)xxyyxxyyxxyy；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1xyab；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：0AxByC（,AB不同时为0）（6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与y轴垂直）：0xx；特别地，y轴：0x②斜率为0的直线（与x轴垂直）：0yy；特别地，x轴：0y③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）yxb；（Ⅲ）ykx例题2：过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是______．解：3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）111222:;:lykxblykxb①平行：12kk且12bb（注意验证12bb）②重合：12kk且12bb③相交：12kk特别地，垂直：121kk（2）11112222:0;:0lAxByClAxByC①平行：1221ABAB且1221ACAC（验证）②重合：1221ABAB且1221ACAC③相交：1221ABAB特别地，垂直：12120AABB（3）与直线0AxByC平行的直线可设为：0AxBym与直线0AxByC垂直的直线可设为：0BxAyn例题3：若两条直线与互相平行，则等于_______.解：∵两直线互相平行，∴.4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)AxyBxy，则221212()()ABxxyy（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)AxyBxy，则,AB中点的坐标为1212(,)22xxyy（3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，则三角形ABC的重心坐标公式为：123123(,)33xxxyyy（4）点00(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离公式：0022AxByCdAB（5）两平行线112212:0;:0()lAxByClAxByCCC间的距离：2122CCdAB（用此公式前要将两直线中,xy的系数统一）例题4：直线与直线的距离为__________．解：由两平行直线的距离公式可得(注意两直线的系数必须化为相同)，.（6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为,AB中点（7）点A关于直线l的对称点B的求法：利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上，列出方程组，求出点B的坐标。例题5：已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为________.解：因为点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,所以直线l是线段PQ的垂直平分线；由线段PQ的中点坐标为（2，3），，由直线方程的点斜式得：即例题6：已知直线和两点，，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为.解：如图，作关于直线的对称点，连结交直线于，则点即为使最小的，设，则即，∴.（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，其中(,)ab为圆心，r为半径（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，其中圆心为(,)22DE，半径为22142DEF(只有当22,xy的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线:0lAxByC，圆222:()()Cxaybr，记圆心(,)Cab到直线l的距离22AaBbCdAB①直线与圆相交,则0dr或方程组的0②直线与圆相切，则dr或方程组的0③直线与圆相离，则dr或方程组的0（2）直线与圆相交时，半径r，圆心到弦的距离d，弦长l，满足：222lrd（3）直线与圆相切时，①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为ykxb，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值；（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)Pxy求圆222:()()Cxaybr的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()yykxx，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0xx，验证圆心到切线距离是否等于半径。②由圆外点00(,)Pxy向圆222:()()Cxaybr引切线，记,PC两点的距离为d，则切线长22ldr（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d，则圆上点到直线的最近距离为dr，最远距离为dr3、两圆的位置关系圆2221111:()()Cxaybr，圆2222222:()()Cxaybr，两圆圆心距离221212()()daabb(1)两圆相离，则12drr（2）两圆相外切，则12drr（3）两圆相交，则1212rrdrr注：圆221111:0CxyDxEyF，圆222222:0CxyDxEyF相交，则两圆相交弦方程为：121212()()()0DDxEEyFF（4）两圆相内切，则12drr（5）两圆内含，则120drr特别地，当0d时，两圆为同心圆