2011高考数学一轮复习极限-数列的极限数学归纳法

2011高考数学复习1第92-93课时：第十二章极限——数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当nN时，|an-A|恒成立，则称常数A为数列{an}的极限，记作Aannlim.2.运算法则：若limnna、limnnb存在，则有lim()limlimnnnnnnnabab；lim()limlimnnnnnnnabab)0lim(limlimlimnnnnnnnnnbbaba3.两种基本类型的极限：1S=)11()1(1)1(0limaaaaann或不存在2设()fn、()gn分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为pa、pb且)(0)(Nnng,则)()()(0)()(limqpqpbaqpngnfqpn不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11aSq（|q|1）无穷数列{an}的所有项和：limnnSS（当limnnS存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：①验证命题对于第一个自然数0nn成立。②假设命题对n=k(k≥0n)时成立,证明n=k+1时命题也成立.则由①②,对于一切n≥0n的自然数,命题都成立。二、例题（数学的极限）2011高考数学复习2例1.（1）nlim112322nnn=;2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且nnnbalim=3,则122limnnnaaanb=（3.）nlimnnaa211(a1)=;（4）．2221321lim()111nnnnn=;（5）.)2(lim2nnnn=;（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则nnnaaaaaa24221lim=;例2．将无限循环小数21.0；1.3221化为分数.例3．已知1)11(lim2bannnn,求实数a,b的值;例4．数列{an},{bn}满足nlim(2an+bn)=1,nlim(an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的极限是否存在，说明理由并求nlim(anbn)的值.例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn,其中a≠0,|r|1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有lim()nnnASn=a,求r的值.例6．设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=1(1,2,)nnSnS,求nnTlim.2011高考数学复习3例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+n)31(=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,…cn,…的各项和.例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。例9．如图，B1，B2，…，Bn,…顺次为曲线y=1/x(x0)上的点，A1，A2，…，An…顺次为ox轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0).(1)求出An的横坐标的表达式;(2)求||||lim11nnnnnAAAA.二．例题（数学归纳法）例1．用数学归纳法证明2nn2(n∈N,n5),则第一步应验证n=;例2．用数学归纳法证明)1,(,12131211nNnnn,第一步验证不等式成立；例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝12)1(nn(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)An─1A1A2AnBnB3B2B1yxOrnrn+1an2011高考数学复习4例4.已知数列{an}=n131211,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.例5．证明：n213121122n(n∈N,n2)例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).例7.在1与2之间插入n个正数naaaa,,,,321，使这2n个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数nbbbb,,,,321使这2n个数成等差数列．记nnnnbbbbBaaaaA321321,．（Ⅰ）求数列nA和nB的通项；（Ⅱ）当7n时，比较nA与nB的大小，并证明你的结论．例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=2)(1naan,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例9．已知数列bn是等差数列，bbbb112101145，…。（Ⅰ）求数列bn的通项bn；（Ⅱ）设数列na的通项abnanlog11（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和。试比较Sn与131loganb的大小，并证明你的结论。练习（数列的极限）1.已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么nnSlim的值等于()(89年)2011高考数学复习5(A)8(B)16(C)32(D)482.)]211()511)(411)(311([limnnn的值等于()(91年)(A)0(B)1(C)2(D)33.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足nnna1Slim,那么a1的取值范围是()(98年)(A)(1,＋∞)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,2)7.)等于()(A)0(B)(C)(D)58．122321222)2221(limnnnnnnCCC等于：（A）16（B）8（C）4（D）29．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,nnnSS1lim=1,则公比q的取值范围是：（A）.q≥1（B）.0q≤1（C）.0q1（D）.q110.32323221limnnnnnnnn的值为()(A)0(B)1(C)2(D)不存在11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么nnnSnalim等于___.12.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，Snnn1i1iinSlim则,aa1＝______.(93年)13.如果nnalim存在，且9423limnnnaa，则nnalim＝________14.11)2(3)2(3limnnnnn＝____________.(86年)15.)1n2n1n31n21n1(lim2222n＝____________.(87年)16.已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则n876n321naaaaaaaalim＝___.17．求nnnnnaaaalim=（a0);18．数列81.0,8100.0,810000.0,…的前n项和及各项和S=.19.nlimnnn21)1(21211212121122.=.20.已知数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－nb)(11,其中b是与2011高考数学复习6n无关的常数,且b≠－1；Ⅰ.求an和an＋1的关系式;Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年)21．在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为,求所有正方形的面积之和.22．已知直线L：x─ny=0(n∈N),圆M：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2,又L与M交于点A、B，L与φ交于点C、D，求22||||limCDABn.23.设a1)n(n3221n(n＝1,2,3……),b1)n(nann(n＝1,2,3……),用极限定义证明21limnnb.(85年)练习（数学归纳法）1．由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)=;(2)凸n边形的对角线条数f(n)=;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)=.2．平面上有n条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f(n)个区域，则f(n+1)=f(n)+.2011高考数学复习73．当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n=，命题为真。4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为.5.用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n-1可以被a2+a+1整除(n∈N).6．若ai0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明：a12+a22+…+an2n1.(n2,n∈N)7．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+2)1(nnlg2x,其中n∈N,n3,),101(x,试比较AN与Bn的大小.8．数列{an}中，naaaaannnn122,12,211试证：.9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n1,n∈N且a,b,c互不相等时，都有an+cn2bn.(n∈N).10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N),(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式；(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。11．已知{an}满足：(n─1)an+1=(n+1)(an─1),a2=6,bn=n+an(nN).(1)求出bn的通项公式，(2)是否存在非零常数p、q使数列{qpnan}成等差数列？若存在，试求出q、q的关系，若不2011高考数学复习8存在，说明理由.