1989考研数三真题及解析

11989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是___.(2)幂级数01nnxn的收敛域是___.(3)齐次线性方程组1231231230,0,0xxxxxxxxx只有零解,则应满足的条件是___.(4)设随机变量X的分布函数为00sin0212,x,FxAx,x,,x,则A=__________,6PX.(5)设随机变量X的数学期望()EX,方差2()DX,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}PX___.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设232xxfx,则当0x时()(A)fx与x是等价无穷小量(B)fx与x是同阶但非等价无穷小量(C)fx是比x较高阶的无穷小量(D)fx是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中,正确的结果是()(A)fxdxfx(B)dfxfx(C)dfxdxfxdx(D)dfxdxfx(3)设A为n阶方阵且0A,则()(A)A中必有两行(列)的元素对应成比例2(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D)A中至少有一行(列)的元素全为0(4)设A和B均为nn矩阵,则必有()(A)ABAB(B)ABBA(C)ABBA(D)111ABAB(5)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1)求极限11limsincosxx.xx(2)已知(,),,,zfuvuxyvxy且(,)fuv的二阶偏导数都连续.求2zxy.(3)求微分方程562xyyye的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10xPPxe,且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3)画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,12.xxfxxx试计算下列各题：(1)200();xSfxedx(4分)(2)412(2);xSfxedx(2分)(3)222(2)(2,3,);nxnnSfxnedxn(1分)(4)0nnSS.(2分)3六、(本题满分6分)假设函数()fx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且()0fx,记1()(),xaFxftdtxa证明在(,)ab内,()0Fx.七、(本题满分5分)已知XAXB,其中010111101A,112053B,求矩阵X.八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t.(1)问当t为何值时,向量组123,,线性无关?(3分)(2)问当t为何值时,向量组123,,线性相关?(1分)(3)当向量组123,,线性相关时,将3表示为1和2的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A.(1)试求矩阵A的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1EA的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3分)十、(本题满分7分)已知随机变量X和Y的联合密度为(),,,(,)0,xyexyfxy00其它.试求：(1){}PXY；(5分)(2)()EXY.(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.41989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】1yx【解析】对函数2sinyxx两边对x求导,得12cosysinxx,令2x得212sincos122xy.所以该曲线在点122,处的切线的斜率为1,所以切线方程是122yx,即1yx为所求.(2)【答案】[1,1)【解析】因系数111,12nnaann,从而11limlim1,2nnnnanan即幂级数的收敛半径1R,当11x时幂级数绝对收敛.当1x时得交错级数0(1)1nnn(条件收敛)；当1x时得正项级数011nn(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1).(3)【答案】1【解析】n个方程n个未知数的齐次方程组0Ax有非零解的充分必要条件是0A,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A为方阵时,用0A判定比较方便.而21110011010(1),111111A所以当0A时1.所以此题应填:1.(4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X的分布函数()Fx是右连续函数,因此对任何x,有()(0)FxFx.5对于2x,有()sin,(0)1.222FAAF令()2F(0)2F,得到1A,其中0(0)lim()xFxFx.又666PXPX,因Fx在6x处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06PX.所以666PXPX66FF162sin.(5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXPXEX,有221{3}(3)9PX.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有0002322ln23ln3limlimlimln2ln31xxxxxxxfxxx.所以fx与x是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,dfxdxfxdxfx.dxfxdxdfxfxC,C为常数.dfxdxfxdx.故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了6||0A的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若112123134A,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若123124125A,则||0A,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n阶行列式AB,则应当是2n个n阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102AB,则111111020020102,1310301000223ABAB.而且1AB存在时,不一定11,AB都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式ABABBABA知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有ABBA.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B“甲种产品畅销”,事件C“乙种产品滞销”,则A事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为ABC,则_____ABCBC“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是1型未定式求极限.7设1ux,则当x时,0u.于是1011lim(sincos)lim(sincos)xuxuuuxx1sincos1sincos10lim(1sincos1)uuuuuuuu,令sincos1uut,则0u时0t,所以11sincos100lim(1sincos1)lim(1)uututuute,所以01sincos1sincos1sincos1limsincos100lim(1sincos1)limuuuuuuuuuuuuuuuuee,由洛必达法则得00sincos1cossinlimlim11uuuuuuu,所以111lim(sincos)xxeexx.(2)【解析】方法一：先求zx,再求2zxy.由复合函数求导法则,zfufvffy,xuxvxuv故2()zffyxyyuv222222fufvffufvyuyuvyvvuyvy222222fffffxyxyuuvvuvv22222()ffffxyxyuuvvv.方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dzfdxyfdxyfdxdyfydxxdy1212()()fyfdxfxfdy.于是有12xzfyf.再对y外求偏导数,即得122111221222()()()xyyyzfyfffxfyfxff81112222()fxyfxyff.【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)uuxy和(,)vvxy在点(,)xy处偏导数存在,函数(,)zfuv在对应点(,)uv具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]zfuxyvxy在点(,)xy处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxvxyuyvy.(3)【解析】微分方程562xyyye对应的齐次方程560yyy的特征方程为2560rr,特征根为122,3rr,故对应齐次微分方程的通解为2312xxCeCe.设所给非齐次方程的特解为*()xyxAe,代入方程562xyyye,比较系数,得1A,故所求方程的通解为231212,,xxxyCeCeeCC为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xmfxPxe,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()ypxyqxyfx具有形如*()kxmyxQxe的特解,其中()mQx与()mPx同次(m次)的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重