2012-2013高中数学2-4-1抛物线及其标准方程同步检测新人教B版选修2-1

-1-2.4第1课时抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是()A．(2，－1)B．(1，－1)C．(14，－14)D．(116，－116)[答案]A[解析]y＝14x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．2．抛物线x2＝4ay的准线方程为()A．x＝－aB．x＝aC．y＝－aD．y＝a[答案]C3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝4，∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为()A.32，±62B.74，±72C.94，±32D.52，±102[答案]B[解析]设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋p2＝x0＋14＝2，∴x0＝74，∴y0＝±72.-2-5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x＝()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]抛物线y2＝4x，焦点F(1,0)，准线x＝－1，∵M到准线的距离为3，∴xM－(－1)＝3，∴xM＝2.6．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.316B.38C.163D.83[答案]A[解析]由条件知m＋nm＝2m＋n＝1，解得m＝14n＝34.∴mn＝316，故选A.7．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝－x对称，则C2的准线方程是()A．x＝－18B．x＝12C．x＝18D．x＝－12[答案]C[解析]抛物线C1：y＝2x2的准线方程为y＝－18，其关于直线y＝－x对称的抛物线C2：y2＝－12x的准线方程为x＝18.故应选C.8．已知抛物线y2＝2px(p0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为()A．1B.2C．2D．22[答案]C[解析]抛物线准线方程为x＝－p2，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋p2|＝5，由于p0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2.9．动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是()-3-A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]D[解析]根据所给条件，结合图形可知动点P到定直线x＝－2及定点M(2,0)的距离相等，故选D.10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线[答案]D[解析]∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.∴D1C1⊥PC1，∴PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．二、填空题11．(2010·安徽文，12)抛物线y2＝8x的焦点坐标是____________．[答案](2,0)[解析]该题考查抛物线的基础知识．要认清形式：本题形如y2＝2px(p0)，焦点坐标为(p2，0)，故为(2,0)．12．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案]x＝－2[解析]由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.13．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．[答案]x＝－54-4-[解析]OA的垂直平分线y＝－2x＋52交x轴于54，0，此为焦点，故准线方程为x＝－54.14．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________．[答案]4[解析]过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．三、解答题15．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的左、右两个焦点为F1、F2，离心率为12，又抛物线C2：y2＝4mx(m0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0)．求椭圆和抛物线的方程．[解析]椭圆中c＝1，e＝12，所以a＝2，b＝a2－c2＝3，椭圆方程为：x24＋y23＝1，抛物线中p2＝1，所以p＝2，抛物线方程为：y2＝4x.16．若抛物线y2＝2px(p0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．[解析]∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)，∴62＝2px(1)∵点M到准线的距离为10，∴x＋p2＝10(2)由(1)(2)解得x＝9，p＝2；或x＝1，p＝18.故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x，当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.17．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,25)到焦点的距离是6.-5-[解析](1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－m2，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝(a＋5)2＋20＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.18．一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a米，求使卡车通过的a的最小整数值．[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(a2，－a4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则(a2)2＝m·(－a4)，∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y－(－a4)3，即a4－0.82a3，由于a0，得上述不等式的解为a12.21，∴a应取13.