2012-2013高二数学《第一讲坐标系》质量评估(新人教A版)选修4-4

-1-本讲质量评估(一)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tanθ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是()．A．①③B．①C．②③D．③解析点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tanθ＝1能表示θ＝π4和θ＝54π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立．答案D2．已知点M的极坐标为－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()．A.5，π3B.5，4π3C.5，－2π3D.－5，－5π3答案A3．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为()．A.2，π3B.2，4π3C.2，－π3D.2，－4π3解析因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为5π3，所以点P的一个极坐标为2，5π3，排除A、B选项，－4π3＋2π＝2π3，所以极坐标2，－4π3所表示的点在第二象限．答案D-2-4．极坐标ρ＝cosπ4－θ表示的曲线是()．A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆解析常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2＝ρcosπ4－θ＝ρ22cosθ＋22sinθ＝22ρ(cosθ＋sinθ)，即ρ＝12(cosθ＋sinθ)，2ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，因此有x2＋y2＝22(x＋y)，故方程ρ＝cosπ4－θ表示圆．答案D5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线方程为()．A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4解析如图所示，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极轴于B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，则有cosθ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcosθ＝2.答案B6．圆ρ＝2(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是()．A.1，π4B.12，π4C.2，π4D.2，π4解析可化为直角坐标方程x－222＋y－222＝1或化为ρ＝2cosθ－π4，这是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圆的方程．答案A7．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝12的图形是()．-3-解析ρ＝cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcosθ＝12表示过点12，0与极轴垂直的直线．答案B8．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()．A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1解析ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝x2＋y2＝0，或ρcosθ＝x＝1，即x2＋y2＝0或x＝1.答案C9．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()．A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析ρcosθ＝4sinθcosθ，cosθ＝0，或ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，则θ＝kπ＋π2或x2＋y2＝4y.答案C10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sinθ－π3关于()．A．直线θ＝π3对称B．直线θ＝5π6对称C．点2，π3中心对称D．极点中心对称解析化ρ＝4sinθ－π3可得ρ＝4cosθ－56π，-4-表示以2，56π为圆心的圆，故曲线ρ＝4sinθ－π3关于直线θ＝56π对称．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)11．极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为________．解析两圆的圆心分别为12，0和0，12，∴圆心距为22.答案2212．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．解析由ρcosθ＝3ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θπ2)，解得ρ＝23θ＝π6，即两曲线的交点为23，π6.答案23，π613．在极轴上与点42，π4的距离为5的点的坐标是________．解析设所求点的坐标为(ρ，0)，则ρ2＋（42）2－2×42ρcosπ4＝5.即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0)．答案(1，0)或(7，0)14．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y.∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1，1)，∴交点的极坐标为2，3π4.答案2，3π4三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)-5-15．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解设变换为x′＝λx，y′＝μy代入第二个方程，得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.∴伸缩变换公式为x′＝x，y′＝4y.即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.16．在直角坐标系中，已知三点P(23，2)，Q(4，－4)，R(6，0)．(1)将P、Q、R三点的直角坐标化为极坐标；(2)求△PQR的面积．解(1)P4，π6，Q42，－π4，R(6，0)．(2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ＝12×4×6×sinπ6＋12×42×6×sinπ4－12×4×42sinπ6＋π4＝14－43.17．根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．(1)ρsinθ2cosθ2＝1；(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.解(1)∵ρsinθ2cosθ2＝1，∴2ρsinθ2cosθ2＝2，即ρsinθ＝2，∴y＝2，为平行于x轴的直线．(2)将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2(25－16cos2θ)＝225得25x2＋25y2－16x2＝225，∴9x2＋25y2＝225，∴x225＋y29＝1，为焦点在x轴上的椭圆．-6-18.设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．解在直线l上任取一点M(ρ，θ)．在直角三角形OMA中，由三角知识得ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝dcos（α－θ）.这就是直线l的极坐标方程．19．(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转π2得到圆D，求圆D的方程．解(1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D：ρ＝2cosθ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，∴ρ＝2sin(θ－1)为所求．