2012中考数学压轴题及答案40例(4)

全国中考信息资源门户网站例（4）13.如图12，直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S.①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设0S是②中函数S的最大值，那么0S=.解：（1）令0x，则4y；令0y则3x．∴30A，．04C，∵二次函数的图象过点04C，，∴可设二次函数的关系式为42bxaxy又∵该函数图象过点30A，．10B，全国中考信息资源门户网站∴093404abab，．解之，得34a，38b．∴所求二次函数的关系式为438342xxy（2）∵438342xxy=3161342x∴顶点M的坐标为1613，过点M作MFx轴于F∴AFMAOCMFOCMSSS△四边形梯形=1013164213161321∴四边形AOCM的面积为10（3）①不存在DE∥OC∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时12t，在RtAOC△中，5AC．设点E的坐标为11xy，∴54431tx，∴512121tx∵DEOC∥，∴tt2351212∴38t∵38t2，不满足12t．∴不存在DEOC∥．②根据题意得D，E两点相遇的时间为1124423543（秒）现分情况讨论如下：全国中考信息资源门户网站ⅰ）当01t≤时，2134322Sttt；ⅱ）当12t≤时，设点E的坐标为22xy，∴544542ty，∴516362ty∴ttttS5275125163623212ⅲ）当2t1124时，设点E的坐标为33xy，，类似ⅱ可得516363ty设点D的坐标为44,yx∴532344ty，∴51264ty∴AOEAODSSS△△512632151636321tt=572533t③802430S全国中考信息资源门户网站已知：如图，抛物线2yaxbxc经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线ykxb与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点0P使得△ABP0为等腰三角形并写出0P点的坐标；（4）除（3）中所求的0P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A、(5,0)B，∴(1)(5)yaxx．又∵抛物线经过点(0,5)C，∴55a，1a．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65yxxxx．全国中考信息资源门户网站（2）∵E点在抛物线上，∴m=42–4×6+5=-3．∵直线y=kx+b过点C（0，5）、E（4，–3），∴5,43.bkb解得k=-2，b=5．设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，当y=0时，-2x+5=0，解得x=52．∴D点的坐标为（52，0）．∴S=S△BDC+S△BDE=1515(5)5+(5)32222=10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P为所求满足条件的点．（4）除0P点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．理由如下：∵220024254APBP，∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B、1P、2P、3P、A、4P、5P、6P，除去B、A两个点外，其余6个点为满足条件的点全国中考信息资源门户网站如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB＝OA=2，∠BOD＝60°在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°∴OD＝1，DB＝3∴点B的坐标是（1，3）（2）设所求抛物线的解析式为2yaxbxc，由已知可得：03420cabcabc全国中考信息资源门户网站解得：33abc23，=，=03∴所求抛物线解析式为232333yxx（备注：a、b的值各得1分）（3）存在由232333yxx配方后得：233(1)33yx∴抛物线的对称轴为1x（也可用顶点坐标公式求出）∵点C在对称轴1x上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O与点A关于直线1x对称，有CO=CA△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。设直线AB的解析式为ykxb，则有：320kbkb解得：32333kb，∴直线AB的解析式为32333yx全国中考信息资源门户网站时，33y∴所求点C的坐标为（－1，33）（4）设P()xy，（200xy－，），则232333yxx①过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=x，PG=y，由题意可得：PABAFPBEPAFEBSSSS△△△梯形＝－－＝111()222AFBEFEAFFPPEBE=111(3)(12)()(2)(1)(3)222yyyxxy＝33322yx②将①代入②，化简得：233322PABSxx△＝-＝23193()228x∴当12x时，△PAB得面积有最大值，最大面积为938。此时312313()34324y∴点P的坐标为13()24，全国中考信息资源门户网站