2012备战中考数学押轴题解析汇编--全等三角形一

第1页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688【黄冈中考】备战2012年中考数学——全等三角形的押轴题解析汇编一全等三角形一、选择题（2010年江苏省宿迁市，7，3）如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA【解题思路】已知∠1＝∠2，还有一个公共边AD=AD，具备了一边一角的条件，可用SAS添加AB=AC，可用ASA添加∠BDA＝∠CDA，可用AAS添加∠B=∠C，若添加BD＝CD，则是“SSA”不能判定两个三角形全等．【答案】B．【点评】本题是一道探索型问题，主要考查了三角形全等的判定．判断三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA的形式．有一定难度．3.（2011江西南昌，10，3分）如图下列条件中，不能．．证明△ABD≌△ACD的是（）A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC【解题思路】要证明△ABD≌△ACD，就要用到三角形全等的判定方法，其中AD=AD是隐含条件，有条件A时，可用SSS证两三角形全等；有条件C时，可用AAS证两三角形全等；有条件B时，可用SAS证两三角形全等.而条件D不能判定两三角形全等．【答案】D【点评】要证三角形全等，必须要知道三角形全等的判定方法．还要注意题中的隐含条件，此外还要注意三角形全等没有边边角的判定方法.难度中等.1.（2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知ABC△中，45ABC，F是高AD和BE的交点，4CD，则线段DF的长度为（）.（第7题）21DCBA第2页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688B(E)FCA．22B．4C．32D．42【解题思路】在Rt△ABD中，∠ABD=45°=∠BAD，得AB=AD，而∠CAD+∠C=∠FBD+∠C，得∠CAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC，∴DF=4CD.故选B.【答案】B．【点评】由三角形全等得对应边相等，是证明线段相等的常用方法.本题需要先观察图形，再根据条件，利用垂直的定义、同角或等角的余角相等、等角对等边等知识，为三角形准备全等的条件.难度中等．二、填空题1.（2011福建泉州，14，4分）如图，点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，若PE=3，则PF=.【解题思路】利用角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等。得到3PEPF【答案】3；【点评】考查角平分线定理的应用，熟记角平分线定理是应用的基础，难度较小。2010年江苏省宿迁市，11，3）将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC＝8cm，则折痕DE的长度是▲cm．【解题思路】可以证明DE是△ABC的中位线，所以DE=12BC=12×8=4．【答案】4．【点评】本题考查了三角形的有关知识．本题是一道几何基础题，涉及到折叠三角形，全等三角形，及三角形中位线的性质“三角形的中位线等于第三边的一半”等知识．难度中等．三、解答题1.（2011常州市第22题,本小题5分）已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC求证：AB=AC【解题思路】由角平分线能得到两个角相等，根据SAS可证△AED≌△ACD,进而证得∠C=∠E=∠B,所以AB=AC.【解答】∵AD平分∠EDC，∴∠EDA=∠CDA,∵DE=DC,AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴∠C=∠E,∵∠E=∠B，∴∠C==∠B，∴AB=AC.【点评】解答本题的关键是通过证明全等三角形实现等角的转化，进而得到等边。2.（2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分EDCBA（第11题）第3页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？【解题思路】由题意知△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质，可得AF=DC，进而可证△AOF≌△DOC。【答案】证明：∵三角形纸板ABC和DEF完全相同∴AB＝DBBC＝BF∠A＝∠D∴AB－BF＝BD－BC，即AF＝CD在△AOF和△DOC中∠A＝∠D，∠AOF＝∠DOC，AF＝CD∴△AOF≌△DOC【点评】本题考查全等三角形的性质及三角形全等的判定，考察了学生简单的推理能力。难度较小。1.(2011广东广州，18，9分)（9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF【解题思路】要证明△ACE≌△ACF，已经具备条件AE=AF，公共边AC，还需一个条件第三边或夹角。结合已知条件，四边形ABCD是菱形ABCD根据菱形的对角线平分一组对角，得到∠CAE=∠CAF，从而利用SAS证明△ACE≌△ACF。【答案】∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠CAE=∠CAF在△ACE和△ACF中，AE=AF，∠CAE=∠CAF，AC=AC∴△ACE≌△ACF【点评】本题考查了三角形全等的判定，而且巧妙的和菱形的性质结合起来，设计巧妙，难度较小。2.．(2011广东河源，21，本题满分9分)如图（1）,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图（2），若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）ADFEBC图（2）图（1）第4页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688【解题思路】设AP为x,则PB为a-x，△APC的面积为243x，△BPD的面积为2)2(43xa，列出两三角形面积和的二次函数解析式，通过二次函数求极值得出面积和最小时AP的值；通过△APD≌△CPB,得到∠PAD=∠PCB,由等量代换得到∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200,所以∠AQC=1800-1200=600.【答案】（1）a；（2）α的大小不会随点P的移动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC,∠APC=600,∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD,∠BPD=600,∴∠APC=∠BPD,∴∠APD=∠CPB,∴△APD≌△CPB,∴∠PAD=∠PCB,∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠AQC=1800-1200=600;(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于600.【点评】本例考查了二次函数的极值及三角形全等的有关知识，解题关键是关于面积和的二次函数的建立及三角形全等知识的应用，会因不能整体代换而导致错误，难度较大.3.（2011广东省，13，6分）已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF．【解题思路】要证明AE=CF，只要证明AF=CE即可，只要证明△AFE≌△CEB即可【答案】∵AD//CB，∴∠A=∠C,又∵AD=CB，∠D=∠B，∴△AFE≌△CEB，∴AF=CE所以AFFE=CEFE，即AE=CF.【点评】本题是一道比较基本的命题证明问题，重点考查同学们的逻辑推理能力以及最基本的证明几何问题的能力．难度较小.4.（2011福建泉州，20.9分）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AC=DF，∠ACB=∠F.求证：△ABC≌△DEF.【解题思路】先证明BC=EF，再由边角边定理证明两三角形全等。【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，又∵AC=DF，∠ABC=∠F，∴△ABC≌△DEF.【点评】利用等量加等量，结果仍相等，确定两三角形的两边及夹角对应相等，证明两三角形全等，是证明三角形全等的基本方法，难度较小。5.(2011江苏镇江，22，5分)已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：AB＝AC．BCDAFE第5页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688【解题思路】欲证AB＝AC，需证∠B＝∠C．而∠E＝∠B，因此需证∠E＝∠C．这可通过证三角形全等得出．【答案】证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC，又DE＝DC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC．∴∠E＝∠C．又∠E＝∠B，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．【点评】此题考查全等三角形的证明，等腰三角形的性质等知识，1．（2011四川内江，18，9分）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板AED如图放置，使三角形斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．猜想BE与EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EDCBA【思路分析】由直角及45°锐角先说明∠EDC=∠EAB=135°，再由AC=2AB，点D是AC的中点说明AB=DC，然后证明△EAB≌△EDC，推出BE=EC，∠DEC=∠AEB，结合∠DEC、∠AEB同加公共角BED=∠AED=90°，说明BE⊥EC．【答案】解：BE=EC，BE⊥EC．证明：∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，∴∠EAB=135°，又∠EDA=45°，∴∠EDC=∠EAB=135°．又∵AD=DC，AB=21AC，∴AB=DC，又∵AE=DE，∴△EAB≌△EDC，∴BE=EC，∠DEC=∠AEB，∴∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED=90°，即BE⊥EC．【点评】题目涉及等腰三角形以及较多的等边时，一般通过证明三角形全等来解答，公共边角的同加同减是计算证明的有效途径．要充分挖掘等腰三角形等腰、底角是45度这些隐含条件来说明三角形全等，切勿忽略等角同加减公共角而无法说明两线段垂直．1.（2011年湖北省武汉市6分）如图，D，E，分别是AB，AC上的点，且AB=AC，AD=AE.求证∠B=∠C.EDCBA第6页教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设《恒谦教育教学资源库》适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688分析：三角形全等的判定及三角全等的性质。答案：证明：在△ABE和△ACD中，AB＝AC∠A＝∠AAE＝AD∴△ABE≌△ACD∴∠B=∠C点评：本题属于全等三角形中最常见的题目，难度不大。2.（2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）___________；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．【解题思路】三个命题就是三个几何问题，用全等三角形知识一一作出判断即可准确得解．【答案】（1）①②③；①③②；②③①．（2）选择①③②．证明：∵AB=AC，∴∠B＝∠C．在△ABD和△ACE中，∵ABACBCBDCE