2012届二轮复习专题4--抽象函数的奇偶性周期性对称性

12012届高考冲刺专题4--抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、抽象函数的对称性定理1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称。推论1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xafxaf，则函数)(xfy的图像关于直线ax对称。推论2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)2()(xafxf),则函数)(xfy的图像关于直线ax对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xafxaf，又若方程0)(xf有n个根，则此n个根的和为na。定理2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：cxbfxaf)()(（cba,,为常数），则函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba对称。推论1.若函数)(xfy定义域为R,且满足条件：0)()(xbfxaf成立，则)(xfy的图象关于点)0,2(ba对称。推论2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：0)()(xafxaf（a为常数），则函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。定理3.若函数)(xfy定义域为R，则函数)(xafy与)(xbfy两函数的图象关于直线2abx对称（由xbxa可得）。推论1.函数)(axfy与函数)(xafy的图象关于直线ax对称。推论2.函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线0x对称。定理4.若函数)(xfy定义域为R，则函数)(xafy与)(xbfcy的图象关于点)2,2(cab对称。推论.函数)(xafy与函数)(xbfy图象关于点)0,2(ab对称。2二、抽象函数的周期性定理5.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(bxfxaf，则)(xfy是以baT为周期的周期函数。推论1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(bxfxaf，则)(xfy是以)(2baT为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件1,fxafx则T=2a则)(xfy是以aT2为周期的周期函数。推论3.若函数满足条件1,1fxfxafx则T=4a则)(xfy是以aT4为周期的周期函数。定理7.若函数)(xfy的图象关于直线ax与)(babx对称，则)(xfy是以)(2abT为周期的周期函数。定理8.若函数)(xfy的图象关于点)0,(a与点))(0,(bab对称，则)(xfy是以)(2abT为周期的周期函数。定理9.若函数)(xfy的图象关于直线ax与点))(0,(bab，则)(xfy是以)(4abT为周期的周期函数。总结：x的系数同为为1，具有周期性。例题讲解：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数2fxxbxc对一切实数都有f(2＋x)=f(2－x)则（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)答案：A。2、设函数y=f(x)定义在实数集R上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于（）对称。A.直线y=0B.直线x=0C.直线y=1D.直线x=1答案：D。由1xx11x题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数xf满足4xfxf，且函数xf在区间,2上单调递增.如果21x2x，且4xx21，则21xfxf的值（）A.恒小于0B.恒大于0C．可能为0D．可正可负答案A。分析：图象关于点0,2对称.xf在区间,2上单调递增，在区间2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242xx，且函数在,2上单调递增，所以124xfxf，又由4xfxf，有1111444)4(xfxfxfxf，21xfxf114xfxf011xfxf2、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称答案：D。解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。题型三、抽象函数的周期性31、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。证明：任取函数xfy图象上一点00yx，即00xfy由xfy是偶函数得0yx0，也在函数xfy的图象上，由因为函数xfy的图象关于x＝1对称，点00y,x2也在函数xfy的图象上，即00x2fy，由此可得000x2fxfy，所以函数xfy的周期为2。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数答案：C。课后作业：姓名：班级座号1、换题2、定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数答案：A.解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。3、已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xfxxfx，则5(())2ff的值是（）A.0B.12C.1D.52答案：A。解析：令21x，则0)21()21(21)21(21)21(21ffff；令0x，则0)0(f由(1)(1)()xfxxfx得11fxfxxx，构造函数fxFxx，由1122211222ff，所以502f4、已知113xfxx，1fxffx，21fxffx，…，1nnfxffx，则20042f（）.A.17B.17C.35D.3答案：A。分析：由113xfxx，知1131xfxx，2131xfxfxx，3fxfx.)(xf为迭代周期函数，故3nfxfx，2004fxfx，20041227ff.5、ABCD—1111DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中)Ni.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()A.1B.2C.3D.0答案：B.解：依条件列出白蚁的路线CBCCCDDAAA111111,1AABA立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.433161990，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D点，白蚁在C点，故所求距离是246、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN｛｝中，已知，，则100x=答案：1。7、yfx定义域为R，且对任意xR都有111fxfxfx，若212f则f(2009)=_答案：-1-2。8、已知f(x)是R上的偶函数，对Rx都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=答案：2.9、函数)(xf在R上有定义，且满足)(xf是偶函数，且02005f，1gxfx是奇函数，则2005f的值为答案：0.函数关于01，和0x对称，周期为401f1f2005f。10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_______解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.311、设)(xf是定义在区间),(上且以2为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.解：设1211212),12,12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以2为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf.