汽车结构有限元分析03_单元类型及单元分析

仅供学习交流之用第三讲单元类型及单元分析平面问题的有限元分析说明了有限元方法的基本方法和分析步骤，利用有限元方法来分析诸如空间问题、杆梁结构问题、板壳结构等问题时，也象分析平面问题一样，要对弹性体进行离散，形成有限元离散体，构建不同问题类型的单元模式，或是说建立不同类型的单元以分别适应空间问题、杆系问题、板壳等不同类型结构问题，而这也正是有限元理论本身的核心问题，即构建不同类型的单元。这其中设定单元位移模式，利用虚功原理建立单元节点力与节点位移关系并组建单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分析。为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移函数必须满足以下三方面的条件：1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位移项；3）位移模式中必须能保证单元之间的连续性。满足条件1）和2）的单元叫做完备单元，满足条件3）的单元叫做协调单元，同时满足以上三个条件的单元称为完备协调单元。对于不同物理性质、不同单元类型的问题，有限元法求解的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和求解运算不同。仅说明单元分析。就单元应用而言，要了解单元属性。单元属性包括单元材料特性和单元几何特性。单元材料特性说明了构成单元的材料力学特性与物理特性，如弹性模量、泊松比、密度等。单元几何特性则说明了单元的截面几何尺寸、单元厚度及空间位置特性等。大型通用软件都形成了单元库，供用户选用，而且可以添加新的单元类型。部分结构单元简图概览本讲内容如下：1.一维单元分析；2.二维单元分析；3.三维单元分析；4.板壳单元；5.其它各种单元介绍；6.单元选用；1.一维单元分析主要有：杆单元、梁单元、管单元等。1.1杆单元---最简单的两节点一维单元，用于杆件承受轴向力分析。设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴向分布载荷为。单元2个节点的位移向量为：单元位移模式可设为：待定常数可由节点位移条件确定:)(xqTjieuuxu21xluuxluuuuijiiji拉压直杆单元仅有轴向应变:相应：用应变矩阵可写为：由应力应变关系：单元刚度矩阵可由一般形式推出：杆单元的特征是不能传递力矩，与能够传递力矩的梁单元的特性不同。用来处理杆构件的建模问题。需要输入的单元特性参数主要有材料性质、截面面积A，极惯性矩等。dxduel111eBeeSBE1111lEAdxBEBAdVBDBkTTePI1.2梁单元---最简单的等截面2节点梁单元，节点位移为挠度和转角，节点力为剪力和弯矩。单元每个节点有两个自由度，单元形状函数应是三次多项式：由单元两端点的条件：；，可解出四个待定系数，将位移模式写成标准形函数形式，则有：342321)(xxxxviivvx,,0jjvvlx,,eNxv)(按梁单元的受力状态，其节点力向量为：节点位移向量为：式中Ｑ为剪力，Ｍ为弯矩，为转角，，为挠度。按照梁的平面弯曲公式：单元弯曲应变和应力：单元刚度矩阵为：TjjiieMQMQFTjjiievvdxdv2222,dxvdyEdxvdyeeeSBEEBdAdxBBEdVBDBklTT02222346266126122646612612lllllllllllllEIke目前使用的梁单元除一次梁单元外，还有二次梁单元、曲梁单元和锥梁单元等。二次梁单元是由三个节点确定的抛物线，曲梁单元是由两个节点决定的、具有曲率半径的圆弧，而锥梁单元则是采用两个节点处截面积不等的线性梁。上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位置不同、倾角不同，有限元模型要求一个单元在整体坐标系中能够任意定位，这就需要建立两种坐标系下的转换关系。对平面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架，都需要建立这种坐标变换关系。对平面桁架，根据坐标旋转公式即可。整体坐标系与局部坐标系下的单元刚度矩阵的形式：TTkTk对于空间等参梁单元主要有2节点直梁单元，3节点曲梁单元。空间梁单元的每个节点有六个自由度，两个节点共由十二个位移分量组成。空间梁单元节点力列矩阵也由十二个力的分量组成，即轴向拉压、扭转以及在xy、xz两平面内的剪切和弯曲。空间梁单元采用了平截面假设，既变形前垂直于梁中性轴的截面，变形后仍保持平面，但不一定垂直中性轴。这种假设包含了剪切变形影响，这种梁单元可以处理大变形小应变的几何非线性问题和材料非线性问题。需要强调指出的是，由于单元刚度矩阵等都是在局部坐标中生成的，而单元总装是在整体坐标中进行的，因此在总装之前，这些矩阵还要经过一次方向变换，而方向余弦值则由局部坐标与整体坐标之间的关系决定。空间梁单元定位对于空间梁单元，其局部坐标需要通过梁的两个节点i、j，再加上梁主惯性平面中的任一参考点k，才可确定。这样空间梁单元就由3个节点组成，点必须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定另一坐标z轴(或y轴)。三点确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构建空间刚架有限元模型的内容，不能忽略。kji,,kji,,需要输入的单元特性参数有材料性质参数、截面面积A、截面惯性矩I，截面极惯性矩等。或者直接输入梁截面尺寸，如长宽高等，工程上多采用型材，可查表获得。2.二维单元分析平面问题的有限元分析中，目前通用程序中主要采用三角形三节点、三角形六节点、四边形四节点和四边形八节点单元。三角形六节点单元形状函数为完全二次多项式矩形四节点单元：八节点的曲边等参元：2121121098726524321yxyxyxvyxyxyxuxyyxyxvxyyxyxu87654321)()(，，2162152141321211109282726524321vu平面高阶单元特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵和节点力向量等计算公式。由于被积函数非常复杂，刚度矩阵[k]已不可能写成显式积分，需要用数值积分计算。通常的方法是在单元内选出某些积分点，算出被积函数在这些积分点的值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求出总和作为近似的积分值。数值积分将积分问题化为求和问题处理。数值积分有多种方法，而高斯积分法是数值积分法中具有较高精度的方法，所以在有限元法中都采用高斯积分法，由于采用高斯积分，相应截面上的应力等量值也是在积分点上获得的，再由积分点外推到节点，在查看计算结果输出时要注意输出点的位置。3.三维单元分析利用有限单元法来分析空间问题时，也像分析平面问题时一样，要将弹性体进行离散，形成有限元离散体。空间问题时弹性体的离散可用多种不同单元，如四节点四面体单元、八节点六面体单元、20节点六面体单元及各种等参单元。其中四节点单元是最简单的空间单元，它是一种常应变单元。3.1四节点四面体单元四面体单元不象六面体单元只适用于几何形状规则的单元，它对结构的划分有良好的适应性。每个节点有三个方向的位移自由度，四个节点共有12个位移分量。单元位移函数为：wvu和，zyxwzyxvzyxu1211109876543213.2八节点六面体单元几何形状规则的结构三维分析时，可选用六面体单元，它有八个节点，节点参数为三个坐标轴方向的位移分量。边长分别为的平行六面体单元，也称为砖形单元。每个节点的形状函数为：)1)(1)(1(81),,(iiiiN3.320节点六面体等参元提高解的精度，要从设计新的单元和新的位移模式着手。线性位移模式单元是实际位移分布的最低级逼近形式，精度是受到局限的。而对具有曲线边界的问题，采用直线边界单元，则存在着用折线代替曲线所带来的误差，而这种误差不能用提高单元位移模式的精度来补偿，因此需要构造一些曲边高精度单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题。等参单元既能适应复杂结构的曲面边界，又便于构造高阶单元，20节点六面体等参元就是其中一种。空间20节点等参元是由边长为2的立方体单元经过坐标变换得到的。为插值表示出曲面的单元形状，每个边至少应有3个节点。在单元内建立曲线坐标系，将此曲面六面体单元变换映射成一个20节点正方体单元。形函数的构成要分成八个角点的形函数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。其表达式如下：由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以表示成：单元刚度矩阵为：eeBBBB}]]{[]][[[}]{[}{2021eeSBDD}]{[}]{][[]][[][][][][][][][][][][]][[][][202020220122022211201211eeeeeeeeeTekkkkkkkkkdVBDBk实体单元可以直接利用三维CAD所做好的实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型，截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于评价计算结果。实体单元无须输入除材料性质参数以外的任何单元特性参数。4板壳单元1.薄板矩形单元薄板弯曲只研究中面的变形，矩形板单元也只研究其一个矩形平面。每个节点有三个位移分量，即挠度w及绕x、y轴的转角、，取四个角点i、j、m、p为四个节点，挠度以沿z轴正向为正，转角则按右手法则标出矢量，沿坐标轴正向为正。节点i的三个位移分量可表示为：xyiiiyixiiixwy)()(}{位移模式矩形单元有12个自由度，仅取挠度为独立位移变量，其位移模式可取为下列多项式：上式中的前三项反映了单元的刚体位移；3个二次项反映了单元中面变形的常应变形式；完全的三次多项式和不完全的四次多项式，使得挠度函数具有三次多项式的精度，可以保证单元间挠度的连续性，但是不能保证相邻单元在公共边界上转角的连续性。这种单元位移模式是完备的，但是一个不完全协调单元。这种单元能够通过分片试验，相应计算精度还是较好的。)()()()(31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxweNw}]{[2.薄板三角形单元图示三节点三角形薄板单元，单元的节点位移仍为节点处的挠度w和绕x、y轴的转角、，单元位移模式应包含9个参数，因此所取的位移函数应包括9项，但一个完整的三次多项式包含10项：所以必须从上式中删去1项，式中前3项代表刚体位移，次3项反映常量应变，都必须保留，以满足收敛的必要条件。为了减少一个独立项，只能从后面的4个三次项中删去一项，但任意删去一项，则位移模式将不再关于x,y对称，引起计算上的很大不便。采用面积坐标，单元位移函数可假设为：xy31029283726524321yxyyxxyxyxyx)()()(229228227654321ijjimiimjmmjji