2-单位根检验

第2章单位根检验（本科课程）张晓峒（2013年10~12月）南开大学数量经济研究所博士生导师、所长中国数量经济学会副理事长[e-mail]:7autocorrffile:chapter3-4file:7stock4file:7rate2a第2章单位根检验2.1单整（积）概念2.2平稳与非平稳过程的统计特征2.3四种典型的非平稳随机过程2.4DF、)ˆ(t、)ˆ(t统计量的分布特征（统计量的极限分布表达式不要求掌握）2.5DF统计量的有限样本分布特征总结2.6进一步讨论2.7单位根检验2.8单位根检验的EViews操作2.9单位根检验举例●本章从两个方向讲。分析单位根检验式中相关统计量的分布特征已知是单位根过程已知时间序列通过单位根检验推断相应真实过程中是否含有单位根2.1单整（积）概念单整（积）：若一个随机过程{xt}必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称{xt}是d次单积（单整）过程。用xtI(d)表示。对于平稳过程表示为I(0)。注意：单整过程是指单积次数大于零的过程。对于I(d)过程xt(L)(1-L)dxt=(L)ut因为含有d个单位根，所以常把时间序列单积次数的检验称为单位根检验（unitroottest）。若xtI(d)，ytI(c)，则zt=(axt+byt)I(max[d,c]).zt=(axt+byt)=(axt+byt)-(axt-1+byt-1)=(axt+byt)当cd时，zt只有差分c次才能平稳。一般来说，若xtI(c)，ytI(c)，则zt=(axt+byt)I(c)但也有zt的单积次数小于c的情形。当zt的单积次数小于c时，则称xt与yt存在协整（积）关系。2.2平稳与非平稳过程的统计特征（1）平稳过程的统计特征以AR(1)过程yt=1yt-1+vt,11,y0=0,vtIN(0,v2)为例yt=vt+1vt-1+12yt-2=…=101tiitiv(yt只有有限记忆力)E(yt)=0Var(yt)=E(101tiitiv)2=2111v2(方差为有限值)-6-4-202461002003004005006007008009001000X100.20.40.60.811020304050601AR(1)过程方差Var(yt)与自相关系数1的关系2.2平稳与非平稳过程的统计特征（2）非平稳过程的统计特征以随机游走过程为例，xt=xt-1+ut,x0=0,utIN(0,u2)有xt=xt-2+ut-1+ut=…=tiiu1（具有永久记忆性)E(xt)=0Var(xt)=tiiuVar1)(=tu2（随T的增加，方差变为无穷大）下面求xT和xT-k的（相隔k期的）自相关系数k。Cov(xT,xT-k)=E(xTxT-k)=E(Tiiu1kTiiu1)=E(kTiiu12)=(T-k)u2k=)()(),(kTTkTTxVarxVarxxCov=222)()(uuukTTkT=TkT=Tk/1只有当样本容量趋于无穷时，相关系数才等于1。有限样本条件下，特别是小样本条件下，随着滞后期k的增加，自相关函数有所衰减。这正是在第1章中看到的结果。表2.1随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较随机游走过程平稳的AR(1)过程方差tu2(无限的)u2/(1-12)(有限值)自相关函数k=)/(1Tk1,k,Tk=1k穿越零均值点的期望时间无限的有限的记忆性永久的暂时的0.700.750.800.850.900.951.0024681012141618202224T=1000T=500T=100T=50k0.00.20.40.60.81.024681012141618202224RHO=0.9RHO=0.8RHO=0.6RHO=0.4kRWT=50、100、500、1000的自相关函数AR(1)1=0.4、0.6、0.8、0.9的自相关函数2.3四种典型的非平稳随机过程（1）随机游走过程。yt=yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)由第1章知，其均值为零，方差无限大，但不含有确定性时间趋势。-15-10-5051015202550100150200250300V1V2300350400450500550600255075100125150175200225250275300SZ随机游走序列深证成指（file:stock）（chapter3-4,four_random_work）（2）随机趋势过程。yt=+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)其中称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y1)=（过程初始值的期望）。做迭代变换，yt=+yt-1+ut=+(+yt-2+ut-1)+ut=…=t+y0+tiiu1yt由确定性时间趋势项t和(y0+tiiu1)两部分组成。可以把y0+tiiu1看作随机的截距项。每个冲击ut都表现为截距的移动。每个冲击ut对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastictrendprocess），或有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift），有漂移项的随机游走过程（randomwalkwithdrift）。虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。-100102030405060708050100150200250300350400Y1Y2Y3Y4-100-80-60-40-200201002003004005006007008009001000y=-0.1+y(-1)+u随机趋势过程生成的序列（0）随机趋势过程生成的序列（0）four_random_trend-100102030405060708050100150200250300350400Y1Y2Y3Y4-100-80-60-40-200201002003004005006007008009001000y=-0.1+y(-1)+u随机趋势过程生成的序列（0）随机趋势过程生成的序列（0）由式yt=t+y0+tiiu1还可以看出，是确定性时间趋势项的系数（原序列yt的增长速度）。为正时，趋势向上；为负时，趋势向下。因为对yt作一次差分后，序列就平稳了，yt=yt-yt-1=+ut（平稳过程）所以也称yt为差分平稳过程（difference-stationaryprocess）。是yt序列的均值，原序列yt的增长速度。（3）趋势平稳过程yt=0+1t+ut,ut=ut-1+vt,(1,vtIID(0,2))因为ut是平稳的，yt只会暂时背离趋势。yt+k的长期预测值将趋近于趋势线0+1(t+k)。所以称其为趋势平稳过程（trendstationaryprocess）。趋势平稳过程由确定性时间趋势1t所主导。趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程，yt-1t=0+ut。整理(4.3)式，得趋势平稳过程的另一种表达形式。yt=+t+yt-1+vt,(1,vtIID(0,2))其中=0-(0-1),=1(1-)。当1时，必然有0，yt为退势平稳过程；当=1时，必然有=0，yt为随机趋势过程。当=0时，=1。趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。yt=0+1t+ut=1+ut-ut-1。移动平均特征方程中含有单位根。所以应该用退势的方法获得平稳过程。yt-1t=0+ut。趋势平稳过程中的ut是AR(1)过程。进一步放宽时，可以看成是ARMA(p,q)过程；严格时可以看成是白噪声过程。●趋势平稳过程属于非平稳过程，但不含有单位根。-40481216202428323650100150200250300350400Y1Y2Y3Y4four_detrend（4）趋势非平稳过程yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)其中称作位移项（漂移项），t称为趋势项。上式是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。对上式进行迭代运算yt=+t+yt-1+ut=+t+(+(t-1)+yt-2+ut-1)+ut=…=y0+t+[t+(t-1)+…+2+1]+tiiu1=y0+t+2(1+t)t+tiiu1=(+2)t+2t2+tiiu1,(设定y0=0)趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。趋势项中包括t的1次和2次项。t的2次项起主导作用。这种序列在取对数的经济序列中非常少见。●对于对数的宏观经济变量，随机趋势过程和退势平稳过程是两种最常见的表现形式。-400408012016020024050100150200250300350400Y1Y2Y3Y4four_trend_non下面分析随机游走过程与平稳的AR(1)过程的区别。对于如下过程yt=1yt-1+ut当1=1时，yt是一个随机游走过程；当11时，yt是一个平稳过程。随机游走过程yt=yt-1+ut和平稳过程yt=0.8yt-1+ut的比较见下图。yt非平稳，xt平稳。差别在于随机游走过程的自回归系数为1，平稳过程的自回归系数绝对值小于1。-20-100102030405060701002003004005006007008009001000Y1Y2X1X2实际经济序列的增长趋势常常是指数形式的。如中国的国民收入和消费见图4.6。然而取对数后，趋势项是线性的。例如yt=et+u，则Lnyt=t+u这就是为什么无论随机趋势过程还是趋势平稳过程，所设定的趋势都是线性的。所以用经济序列建立模型之前应先取对数。这样既可以用线性趋势模型描述，又可以消除异方差。对数的中国国民收入和消费见图4.7。05000100001500020000250005560657075808590IPCP7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590LNIPLNCP中国的国民收入和消费对数的中国国民收入和消费2.4DF、)ˆ(t、)ˆ(t统计量的分布特征首先讨论)ˆ(t的极限分布和有限样本分布特征。以OLS估计式，yt=yt-1+ut，为例，若真值=0，统计量)ˆ(t=)ˆ(ˆst(T-1)服从t分布，其极限分布为标准正态分布。若真值1，统计量)ˆ(t=)ˆ()ˆ(s渐近服从标准正态分布。根据中心极限定理，当T时，)ˆ(TTN(0,2(1-2))如果数据生成过程是yt=yt-1+ut，yt是非平稳的，含有单位根。在=1条件下，统计量)ˆ(TT的极限分布发生退化（方差为零）。●)ˆ(t不再服从t分布。需要专门研究，这就是单位根检验问题。.0.1.2.3.4.5-4-3-2-101234DFKernelNORMALKernelDensity020040060080010001200-3.75-2.50-1.250.001.252.503.75Series:DFSample110000Observations10000Mean-0.403611Median-0.482977Maximum3.710184Minimum-4.059540Std.Dev.0.996819Skewness0.250905Kurtosis3.109055Jarque-Bera109.8776Probability0.000000File：chapter3-42.4DF、)ˆ(t、)ˆ(t统计量的分布特征情形1：数据生成过程（DGP）：yt=yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)实际使用的OLS估计式：yt=yt-1+ut（2.1）研究统计量)ˆ