2012届高三数学原创月考试题一

不等式单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．已知c0，则下列不等式中成立的是()A．c2cB．c(12)cC．2c(12)cD．2c(12)c答案D2．函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A.xx≠－12B.xx－12C.xx≠－12且x≠1D.xx－12且x≠1答案D解析由题意，得2x＋1≥0，2x2－x－1≠0，解此不等式组，得xx－12且x≠1.故选D.3．已知f(x)＝x＋bx在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2]D．[1，e2]答案A解析b≤0时，f(x)在(1，e)上为增函数b0时，当x0时，x＋bx≥2b当且仅当x＝bx即x＝b取等号，若使f(x)在(1，e)上为单调函数，则b≤1或b≥e∴0b≤1或b≥e2综上b的取值范围是b≤1或b≥e2，故选A.4．已知不等式组x－y＋2≥0x＋y－4≤0x≥1y≥0表示的平面区域在圆M的内部(包括边界)，则圆M半径的最小值为()A.253B.233C.522D.322答案D解析不等式组所表示的平面区域是如图所示的四边形ABCD，∠DAB＝∠BCD＝90°，当圆M以BD为直径时，半径最小，由B(4,0)，D(1,3)得，|BD|＝32，故圆M半径的最小值为322.5．已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka＋b＋c|1，则实数k的取值范围是()A．k0B．k2C．k0或k2D．0k2答案C解析由|ka＋b＋c|1得(ka＋b＋c)21，即k2＋1＋1＋2k(－12)＋2k(－12)＋2×(－12)1得k2－2k0.∴k2或k0，故选C.6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析由题意可得x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)0；x∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f(x)0.对于2fxx0，可化为x0fx或x0fx，因此不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．7．若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A.34B．1C.74D．2答案C解析根据题意作图如图．图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD－S△ABC＝12×2×2－12×1×12＝74.8．设a、b、c为△ABC的三边，则()A．a2＋b2＋c2a＋b＋cB．a2＋b2＋c2ab＋bc＋acC．a2＋b2＋c22(ab＋bc＋ac)D．a2＋b2＋c22(ab＋bc＋ac)答案C解析c2＝a2＋b2－2abcosCb2＝a2＋c2－2accosBa2＝b2＋c2－2bccosA∴a2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)－2(abcosC＋accosB＋bccosA)∴a2＋b2＋c2＝2(abcosC＋accosB＋bccosA)2(ab＋bc＋ac)9．已知向量a＝(1，1－xx)，b＝(x－1,1)，则|a＋b|的最小值是()A．1B.2C.3D．2答案B解析a＋b＝(x，1x)，|a＋b|＝x2＋1x2≥2；|a＋b|min＝2.10．已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3答案A解析由题意：A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，A∩B＝{x|－1x2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.故选A.11．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)答案B解析方法一本题分两步解答．第一步，设3x＝t0，则t2－(k＋1)t＋20在t0时恒成立．第二步分Δ0和Δ≥0讨论．(1)由Δ0，得－22－1k22－1.(2)当Δ≥0，即k≤－22－1或k≥22－1时，则方程t2－(k＋1)t＋2＝0的大根t2≤0.∵t1·t2＝20，∴t2≠0又∵t1＋t2＝k＋10，即k≤－22－1.由(1)、(2)知k的取值范围为(－∞，22－1)．方法二由f(x)0得32x－(k＋1)·3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22，∴k＋122，k22－1.12．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是()A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m答案C解析令一直角边长为a，则另一直角边长为2a，斜边长为a2＋4a2，周长l＝a＋2a＋a2＋4a2≥22＋24.8，当且a＝2a时取等号．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab0的解集是{x|x－1或x4}，则实数a、b的值分别为________．答案－4,114．线性目标函数z＝3x＋2y，在线性约束条件x＋y－3≥0，2x－y≤0，y≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析作出线性约束条件x＋y－3≥0，2x－y≤0，y≤a所表示的可行域如图所示，因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．15.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润最大．答案5解析由图象知y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润为y＝－x－2＋11x＝12－(x＋25x)≤12－10＝2，当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号．16.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．答案12解析设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且13≤a，b≤23，S＝a2＋b2≥2×(a＋b2)2＝12，当且仅当a＝b＝12时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f(x)＝50xx2＋1.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．答案(1)25(2)2018．(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2.若f(2)＝0，求角C的取值范围．解析若f(2)＝0，则4a2－2(a2－b2)－4c2＝0，∴a2＋b2＝2c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝c22ab.又2c2＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤c2，∴cosC≥12.又∵C∈(0，π)，∴0C≤π3.19．(本小题满分12分)已知OP→＝(1，cosx)，OQ→＝(cosx,1)，x∈[－π4，π4]，记f(x)＝cosOP→，OQ→.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求cosOP→，OQ→的取值范围．解析(1)∵OP→＝(1，cosx)，OQ→＝(cosx,1)，∴OP→·OQ→＝2cosx，|OP→|·|OQ→|＝1＋cos2x.∴f(x)＝cosOP→，OQ→＝2cosx1＋cos2x.(2)∵x∈[－π4，π4]，∴f(x)＝cosOP→，OQ→＝2cosx1＋cos2x＝2cosx＋1cosx，cosx∈[22，1]．∵2≤cosx＋1cosx≤322，∴223≤f(x)≤1，即223≤cosOP→，OQ→≤1.20．(本小题满分12分)(09·湖北)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(Ⅰ)将y表示为x的函数；(Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析(Ⅰ)如图，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝360x.所以y＝225x＋3602x－360(x0)．(Ⅱ)∵x0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440.当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋4(a为非零实数)，设函数F(x)＝fx，x0，－fx，x0.(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；(2)设mn0，m＋n0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?解析(1)∵f(－2)＝0，∴4a＋4＝0，得a＝－1，∴f(x)＝－x2＋4，F(x)＝－x2＋4，x0，x2－4，x0.(2)∵f(x)＝ax2＋4，∴F(x)＝ax2＋4，x0，－ax2－4，x0.∵mn0，不妨设m0，则n0，又m＋n0，∴m－n0，∴m2n2.∴F(m)＋F(n)＝am2＋4－an2－4＝a(m2－n2)．∴当a0时，F(m)＋F(n)能大于0，当a0时，F(m)＋F(n)不能大于0.22．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当x∈(0,1]时，y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤π4，求a的取值范围．解析(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，∵f′(x)是开口向下的抛物线，∴f≥0f＝－12＋4a≥0，∴a≥3.(2)∵0≤θ≤π4，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，由－3x2＋2ax≥0，得a≥32x，a≥32，由－3x2＋2ax≤1，得a≤32x＋12x.又32x＋12x≥3(当且仅当x＝33时取“＝”)，∴a≤3.综上，a的取值范围是32≤a≤3.