212定积分与微积分基本定理

2.12定积分与微积分基本定理教学目标1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义，能进行定积分的相关计算.重点：定积分的定义和几何意义.难点：微积分基本定理及其运算.知识梳理1．定积分的概念、几何意义与性质(1)定积分的定义及相关概念．一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作badxxf)(,即badxxf)(=.在badxxf)(中，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式．(2)定积分的几何意义.(3)定积分的性质．①badxxkf)(＝(k为常数)．②badxxfxf)]()([21＝．③badxxf)(＝(其中acb)．2．微积分基本定理一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，并且F′(x)＝f(x)，那么badxxf)(＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|ba，因此，微积分基本定理可以写成形式badxxf)(＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．课堂探究探究活动一：定积分的计算.例1.(1)若f(x)＝x2＋210)(dxxf，则10)(dxxf＝()A．－1B．－13C.13D．1(2)102)211(dxxx＝________．变式训练：(1)定积分3029dxx＝_____．(2)若202cossindxxax，则实数a＝_____．(3))设f(x)＝x2x∈[0，1]1xx∈1，e](e为自然对数的底数)，则edxxf0)(的值为________．(4)201dxx＝.探究活动二：定积分在物理中的应用.例2.(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2(2)已知作用于某一质点的力F(x)＝x2，0≤x≤1，x＋1，1x≤2(单位：N)，则力F(x)从x＝0处运动到x＝2处(单位：m)所做的功为________．f(x)badxxf)(的几何意义f(x)≥0表示由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积变式训练:1.物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．62.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．探究活动三：利用定积分计算平面图形的面积.例3.(1)由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3，所围成封闭的平面图形的面积为()A.329B．4－ln3C．4＋ln3D．2－ln3(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.变式训练：1.由函数f(x)＝ex－e的图象，直线x＝2及x轴所围成的阴影部分的面积等于________．2.由曲线f(x)＝x与y轴及直线y＝m(m0)围成的图形的面积为83，则m的值为()A．2B．3C．1D．8课堂总结这节课学你到了什么？当堂训练1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则babadttfdxxf)()(()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)若0)(badxxf，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()(4)若f(x)是偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(.()2．已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10t20B．5t20C.103t20D.53t203．定积分10)2(dxexx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－14．设f(x)＝x2（x≥0），2x（x＜0），则11)(dxxf的值是()A.112dxxB.112dxxC.dxdxxx100122D.dxxdxx1020125．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为________．课后反思