2012届高考数学一轮复习教案2.11函数的应用

第1页（共9页）2.11函数的应用●知识梳理解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.●点击双基1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价A.10%B.9%C.11%D.1191%解析：设提价x%，则a（1－10%）（1+x%）=a，∴x=1191.答案：D2.今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是A.v=log2tB.v=log21tC.v=212tD.v=2t－2解析：特值检验，如：当t=4时，v=212t=7.5.答案：C3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.12解析：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×2424x=2x（6－x），∴当x=3时，y最大.答案：A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为______________.答案：y=0.9576100x第2页（共9页）5.建筑一个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________m时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为x68000（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·x68000＝12（x＋x68000）（m2），池底面积为x·x68000＝68000（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为y＝12a（x＋x68000）＋38000a.定义域为（0，＋∞）.x＋x68000≥2xx68000＝34030（当且仅当x=x68000即x=32030时取“=”）.∴当底边长为32030m时造价最低，最低造价为（16030a＋38000a）元.答案：y=12a（x+x68000）+38000a（0，+∞）3203016030a+38000a●典例剖析【例1】（1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则y＝a（1＋p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.（2）设成本经过x年降低到y元，则y＝a（1－p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.特别提示增长率问题是一重要的模型.【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：级数全月纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%………9超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A.800~900元B.900~1200元C.1200~1500元D.1500~2800元（1）解：依税率表，有第一段：x·5%，0＜x≤500，第二段：（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤2000，第3页（共9页）第三段：（x－2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x≤5000，即f（x）=175)2000(15.025)500(1.005.0xxx).50002000(),2000500(),5000(xxx（2）解：这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，f（2200）=0.15×（2200－2000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.答案：C评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.特别提示分段函数在新课标中占有重要地位.【例3】某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕解：（1）设下调后的电价为x元／（千瓦·时），依题意知用电量增至4.0xk＋a，电力部门的收益为y＝（4.0xk＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.（2）依题意有.75.055.0%),201)](3.08.0([)3.0)(4.02.0(xaxaxa整理得.75.055.0,03.01.12xxx解此不等式得0.60≤x≤0.75.答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.深化拓展某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.提示：设全年的运输和保管总费用为y元，第4页（共9页）则y=x3600×400+k·（2000x）.据题设，x=400时，y=43600，解得k=5%.∴y=x4003600+100x≥2xx1004003600=2400（元）.因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.答案：每批购入120台可使资金够用.【例4】（2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为cn=1270+230n－2000×1.05n－1，需要转化为cn＞cn－1，cn＞cn+1，则cn最大.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230×（n－1）（n∈N*），bn=2000·（1+5%）n－1（n∈N*）.（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+…+a10）=304200（元）；若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+…+b10）≈301869（元）.因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.（3）问题等价于求cn=an－bn=1270+230n－2000×1.05n－1（n∈N*）的最大值.当n≥2时，cn－cn－1=230－100×1.05n－2.当cn－cn－1＞0，即230－100×1.05n－2＞0时，1.05n－2＜2.3，得n＜19.1.因此，当2≤n≤19时，cn－1＜cn；当n≥20时，cn≤cn－1.∴c19是数列{cn}的最大项，c19=a19－b19≈827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.●闯关训练夯实基础1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是第5页（共9页）tABCD0dtOd0t0ddtO0t0dOdt0t0dOdt0答案：D2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g（x），则g（x）=xxx25122=12－（x+x25）.∵x+x25≥2xx25=10，∴当x=x25，即x=5时，g（x）max=2.答案：C3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）解析：设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.∴lg（1+x）=103010.02=0.0602.∴1+x=100.0602.又∵lg11.49=1.0602，∴11.49=101.0602=10·100.0602.∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.答案：14.9%4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）=4Q－2001Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________.（总利润=总收入－成本）解析：L（Q）=4Q－2001Q2－（200+Q）=－2001（Q－300）2+250.答案：2503005.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.第6页（共9页）（1）解：依题意得