2012届高考数学理二轮专题限时规范训练过关检测1集合与常用逻辑用语函数与导数不等式

过关检测(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()．A．0B．1C．2D．3解析法一A为圆心在原点的单位圆，B为过原点的直线，故有2个交点，故选C.法二由x2＋y2＝1，y＝x可得x＝22，y＝22或x＝－22，y＝－22.答案C2．(2011·湖南)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析当a＝1时，N＝{1}，则“N⊆M”成立，所以“a＝1”是充分条件；当N⊆M，a2＝1或a2＝2，得a＝±1或a＝±2，所以“a＝1”不是必要条件，故选A.答案A3．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.答案D4．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()．A.92e2B．4e2C．2e2D．e2解析∵y′＝12e12x，∴y′|x＝4＝12e2，∴切线方程为y－e2＝12e2(x－4)．令x＝0，则y＝－e2，令y＝0，则x＝2.∴S＝12×2×e2＝e2.答案D5．函数f(x)＝2mcos2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值等于()．A．±1B．1C．－1D．2解析∵f(x)＝2mcos2x2＋1＝2m×1＋cosx2＋1＝m＋1＋mcosx，∴f′(x)＝－msinx.当m0时，m＝1；当m0时，m＝－1.答案A6．设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b，12c＝log2c，则()．A．abcB．cbaC．cabD．bac解析由2a1知log12a1，∴0a12.由012b1得0log12b1，∴12b1.由012c1，∴0log2c1，∴1c2.∴abc.答案A7．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()．解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝k－1－1＝0，∴k＝2.又f(x)在R上为减函数，∴0a1，∴g(x)＝loga(x＋2)的图象是由φ(x)＝logax向左平移2个单位．答案A8．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案A9．已知f(x)＝alnx＋12x2(a0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有fx1－fx2x1－x22恒成立，则a的取值范围是()．A．(0,1]B．(1，＋∞)C．(0,1)D．[1，＋∞)解析由k＝fx1－fx2x1－x2知：f′(x)＝ax＋x≥2，x∈(0，＋∞)恒成立．即a≥x(2－x)恒成立，∵x(2－x)的最大值为1.∴a≥1.答案D10．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9解析当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)．又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7，故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝_______.解析∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x－a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.答案012．(2011·淄博模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a－3a＋1，则a的取值范围是______．解析∵f(2)＝f(－1)＝－f(1)，∴2a－3a＋1≤－1，∴3a－2a＋1≤0，∴－1a≤23.答案－1，2313．若函数f(x)＝ex－a－2x恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．解析令y＝ex，y＝2x＋a画出图象如图．由图象知a≤0时，y＝ex的图象与y＝2x＋a的图象有一个交点，a0时，有两个交点．答案(－∞，0]14．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，y＝f(x)是奇函数；②b＝0，c0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0最多有两个实根．其中正确的命题是________(写出序号)．解析当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，①正确；当b＝0，c0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x0，f(x)＝0有一解x＝－c，②正确；结合图象知③正确，④不正确．答案①②③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知函数f(x)＝xex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解(1)∵f(x)＝xex.∴f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)0，即(x＋1)ex0.∵ex0，∴x－1，∴f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．(2)由(1)知，f′(x)＝(1＋x)ex.∴f′(1)＝2e，f(1)＝e.∴f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.16．(2011·安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x＝32或x＝12.综合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x＝32是极小值点，x＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.17．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔，以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解(1)依题意知，赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2000t－st.∵ω＝2000t－s(t)2＝－st－1000s2＋10002s.∴当t＝1000s2时，ω取得最大值．所以乙方获得最大利润的年产量为t＝1000s2吨．(2)设甲方的净收入为v元，则v＝ts－0.002t2，将t＝1000s2代入上式，得甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式为v＝10002s－2×10003s4，又v′(s)＝－10002s2＋8×10003s5＝10002s5(8000－s3)．令v′(s)＝0，得s＝20，当s20时，v′(s)0；当s20时，v′(s)0，∴s＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20元/吨时，获得净收入最大．18．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求ba－1的范围．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有f′2＝0，f2＝－6，即12＋4a＋b＝0，8＋4a＋2b＝－6，解得a＝－52，b＝－2.∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)0，得－13x2，∴y＝f(x)的单调递减区间是－13，2.(2)由f′－1＝3－2a＋b≤2，f′1＝3＋2a＋b≤2得2a－b－1≥0，2a＋b＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由2a－b－1＝0，2a＋b＋1＝0得a＝0，b＝－1.∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝ba－1，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率．∵kPQ＝1，由图可知z≥1或z≤－2，即ba－1∈(－∞，－2]∪[1，＋∞)．19．(2011·三明模拟)函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b∈R.(1)若函数f(x)在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；(2)若对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥f(1)，求b的值；(3)设a1，g(x)＝x3－3a2x＋a2－2a.当b＝12时，若存在x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－g(x2)|12，求实数a的取值范围．解(1)函数f′(x)＝2x＋bx＋1＝2x2＋2x＋bx＋1(x－1)．由题意，f′(x)≥0在(－1，＋∞)内恒成立，或f′(x)≤0(－1，＋∞)内恒成立．若f′(x)≥0，则2x2＋2x＋b≥0，即b≥－2x2－2x＝－2x＋122＋12恒成立．显然，－2x＋122＋12在(－1，＋∞)内的最大值为12，所以，b≥12；若f′(x)≤0，即2x2＋2x＋b≤0，显然该不等式在(－1，＋∞)内不恒成立．综上，所求b的取值范围为12，＋∞.(2)由题意，f(1)是函数f(x)的最小值，也是极小值．因此，f′(1)＝2＋b2＝0，解得b＝－4.经验证，b＝－4符合题意．(3)首先研究f(x)，g(x)在[0,1]上的性质．由(1)，当b＝12时，f(x)＝x2＋bln(x＋1)在(－1，＋∞)内单调递增，从而f(x)在[0,1]上单调递增，因此，f(x)在[0,1]上的最小值f(x)min＝f(0)＝0，最大值f(x)max＝f(1)＝1＋12ln2.g′(x)＝3(x2－a2)，由a1，知当x∈[0,1]时，g′(x)＝3(x2－a2)0，因此，g(x)＝x3－3a2x＋a2－2a在[0,1]上单调递减．g(x)在[0,1]上的最小值g(x)min＝g(1)＝1－2a2－2a，最大值g(x)max＝g(0)＝a2－2a.因为a1，所以g(x)