2012常微分方程试题B答案

常微分方程模拟试题(B)参考答案2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二2．)()]()([1211xyxyxyC3．()0Wt或00()=0,WttI4．)(xNxNyM5.1y6.n7.充分8.00(,)xxyyfxydx9.1,Resasa10.,二、计算题（每小题5分，本题共20分）11.解：齐次方程的通解为xCy3e(3分)令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51（5分）12.解：对应的特征方程为：012，解得ii23,23212211（3分）所以方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext（5分）13.1yM，xN=1,xNyM所以此方程是恰当方程.（3分）凑微分，0)(22xdyydxydydxx得Cyxyx2331（5分）14．5,1,dydtxytdxdx令则1,(7)77dtttdtdxdxt原方程化为：变量分离（3分）21772txct两边积分217(5)7.2(5)xyxcxy代回变量（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分）15．特征方程为01411EA,即0322.特征根为31，12.（4分）31对应特征向量应满足0031413111ba可确定出2111ba同样可算出12对应的特征向量为2122ba所以，原方程组的通解为ttttCCyx2ee2ee2331（10分）.16．解：(),dyPxydx（1）这是一个变量分离方程，通解为(),Pxdxyce这里c是任意常数。（4分）假设()()Pxdxycxe是()()dyPxyQxdx的通解，代入方程，则有()()()PxdxdcxQxedx积分后得到()()(),PxdxcxQxedxc（8分）这里c是任意常数，方程的通解为()()(())PxdxPxdxyeQxedxc（10分）17.解：设f(x,y)=2331y,则)0(2132yyyf故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.（4分）显然，0y是通过点（0，0）的一个解；（6分）又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx所以，通过点（0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx（10分）四、证明题（每小题10分，本题共20分）18.证明：必要性若该方程为线性方程,则有)()(xQyxPdxdy,此方程有积分因子dxxPex)()(,)(x只与x有关.（4分）充分性若该方程有只与x有关的积分因子)(x,则0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程,从而dxxdyyxfx)()),()((,)()(xxyf,)()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf.其中)()()(xxxP.（8分）于是方程可化为0))()((dxxQyxPdy即方程为一阶线性方程.（10分）19．证明：(),()xx的朗斯基行列式为()()()()()xxWxxx因(),()xx是基本解组,故()0,()WxxR.若存在0xR,使得00()()0xx,则由行列式性质可得0()0Wx,矛盾.即()x最多只能有简单零点.同理对()x有同样的性质,故(i)得证.若存在0xR,使得00()()0xx,则由行列式性质可得0()0Wx,矛盾.即(),()xx无共同零点.故(ii)得证若存在0xR,使得00()()0xx则同样由行列式性质可得0()0Wx,矛盾.(),()xx没有共同的零点..故(iii)得证.