2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题

数理统计与随机过程（研）试题第1页共2页北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试题学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。考试时间120分钟。考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254N，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：54.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.）？二、（15分）在数14159263.的前800位小数中,数字93210,,,,,各出现的次数记录如下数字0123456789频数74928379807377757691检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）重量x5101315202530长度y7.258.128.508.959.9010.9011.80求y关于x的一元线性回归方程，并进行显著性检验.取显著性水平050.，计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：产品号工厂甲工厂乙工厂丙13828432422640348345044530395403250数理统计与随机过程（研）试题第2页共2页在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.,计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0ttN是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321NNNP；（2）})(|)({4365NNP；（3）求协方差函数),(tsCN，写出推导过程。六、（15分）设{,}nXnT是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I，一步转移概率矩阵为1214142301335250P（1）求}|,,,,{202021054321XXXXXXP；（2）求}|{122nnXXP；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。七、（15分）设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中A与B相互独立且都是均值为零，方差为2的正态随机变量，（1）分别求)(1X和)(41X的一维概率密度；（2）问)(tX是否是平稳随机过程？数理统计与随机过程（研）试题第3页共2页标准答案（仅供参考）一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254N，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：54.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0）？解：按题意，要检验的假设是54:0H，因2未知，故用t检验法，由05.0，查t分布表得临界值2622290250.)(.t，由样本值算得382514654.,.tx因为26222.t，故接受假设0H，即在05.0时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。2．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt，)()]()([12123tttXtXE，则___})(,)(,)({654321XXXP,___})(|)({4365XXP156262321458!26!26!23}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({eeeeXXXXXXPXXXP解：66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({eeXXPXXP数理统计与随机过程（研）试题第4页共2页7、设马尔科夫链的状态空间为{0,1,2}I，一步转移概率矩阵为：1214142301335250P，求其相应的极限分布。解：（1）由马尔科夫与齐次性，可得{|}{|}{|}{|}10213243{|}{|}{|}5465762131312353545452500PPXbXcPXcXbPXaXcPXcXaPXaXcPXcXaPXbXc（2）因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵17/309/405/24(2)8/153/101/617/303/2017/90PPP，故221{|}[{|}]1/6nnnnPXcXbPXcXb。