2020高考数学(理)培优练习--函数概念与基本初等函数-函数及其表示-函数的奇偶性及周期性

[基础题组练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝1xB．y＝|x|－1C．y＝lgxD．y＝12|x|解析：选B.y＝1x为奇函数；y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝12|x|在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析：选A.易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln－1＋21－x，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.3．设函数f(x)＝log2（1－x）（x0），g（x）＋1（x0），若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A．1B．3C．－3D．－1解析：选C.因为函数f(x)＝log2（1－x）（x0），g（x）＋1（x0），f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，所以log2(1＋3)＝－[g(3)＋1]，则g(3)＝－3.故选C.4．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于()A．－9B．9C．－3D．0解析：选B.因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(0.5)＝f(8.5)＝9.故选B.5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)1，所以a1，即a∈(1，＋∞)．故选D.6．(2019·四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bcaD．acb解析：选D.因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8－0.5－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，所以acb，故选D.7．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.答案：18．(2019·山西太原联考)已知f(x)是奇函数，且x∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝－x2＋2x，若x∈(－∞，0)，则f(x)＝________．解析：由题意知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＝－x2－2x＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋2x.答案：x2＋2x9．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是________．解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，所以f(|2x－1|)f13，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|2x－1|13，解得13x23.答案：13，2310．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－1f（x），当1x≤3时，f(x)＝cosπx3，则f(2017)＝________．解析：由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－1f（x＋3）＝－1－1f（x）＝f(x)，故函数f(x)的周期为6.所以f(2017)＝f(6×336＋1)＝f(1)．因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，而f(－1＋3)＝－1f（－1），所以f(1)＝f(－1)＝－1f（2）＝－1cos2π3＝2.所以f(2017)＝2.答案：211．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞0，0，x＝0，x2＋mx，x＜0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知a－2＞－1，a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A.－∞，94B.－∞，73C.－∞，52D.－∞，83解析：选B.当－1x≤0时，0x＋1≤1，则f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x；当1x≤2时，0x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2x≤3时，0x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得f(x)＝…12（x＋1）x，－1x≤0，x（x－1），0x≤1，2（x－1）（x－2），1x≤2，22（x－2）（x－3），2x≤3，…由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2x≤3时，令22(x－2)·(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是－∞，73，故选B.2．(2019·湖南四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足fx＋52＋f(x)＝0，当－54≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________．解析：由fx＋52＋f(x)＝0，得f(x)＝－fx＋52＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的周期函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，a＝－1，所以当－54≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－12，则f(1)＝－f(－1)＝12，故f(16)＝12.答案：123．(应用型)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)f(2x－1)成立的x的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)f(2x－1)⇔f(|x|)f(|2x－1|)⇔|x||2x－1|⇔13x1.答案：13，14．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f32＝12.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝－1.又f32＝f－12＝－f12＝1－a＝12，解得a＝14.(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝14x－1∈－34，0，由f(x)为奇函数知，当x∈(－1，0)时，f(x)∈0，34，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈－34，34，设t＝f(x)∈－34，34，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝t＋122－14，即y＝t＋122－14∈－14，2116.故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为－14，2116.