2010年云南大学

一、简答以下量子力学问题。（共6题，1、2小题每题10分，其余每小题5分，共40分）1、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为,rt，在动量表象中为,Cpt，在力学量Q表象中为矩阵12natatAtat，且它们都是归一化的，说明2,rt，2,Cpt与2nat的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力学量,Frp平均值的表示式。（10分）2、下列波函数所描写的状态是否为定态？并说明理由。（10分）（1）、1,EEititxtxexe（2）、2,EEixtixtxtuxeuxe3、波函数与k、ie是否描述同一态？为什么？（5分）4、全同费米子的波函数有什么特点？写出两个费米子组成全同粒子体系的波函数。（5分）5、什么是力学量完全集？它有些什么特征？（5分）6、什么是表象？分别写出坐标表象和动量表象中一维坐标算符和一维动量算符的具体形式。（5分）二、证明推导题（共4小题，每小题10分，共40分）1、设全同二粒的体系的Hamilton量为ˆ1,2,H，波函数为1,2,，试证明交换算符12ˆp是一个守恒量。2、设ˆU是一个幺正算符，证明ˆˆˆdUHiUdt是厄米算符。3、设n是粒子数算符ˆˆˆNaa的本征函数，相应之本征值为0n，算符ˆa和ˆa满足对易关系ˆˆˆˆ1aaaa。证明：ˆan（其中1n）和ˆan也是ˆN的本征函数，其相应的本征值分别为1n和1n。4、证明：在电子的任意自旋态ab下，只要22ab，则自旋角动量ˆxS的平均值必为零。三、设一量子体系处于波函数1,sincos4ie所描述的量子态。求：（1）、在该态下，ˆzl的可能测值和各个值出现的几率。（2）ˆzl的平均值。（共1题，每题20分，共20分）（如有必要可利用，103cos4Y，113sin8iYe）四、质量为m的粒子处于如下一维势阱中00000xVxxaVxa若已知粒子在此势阱中存在一个能量02VE的本征态，试确定此势阱的宽度a。（共1题，每题25分，共25分）五、当为一小量时，求系统哈密顿量1202230332本征值到的二次项，本征矢至的一次项。（共1题，每题25分，共25分）