2012年中考数学专题复习相似三角形

2012年中考数学专题复习——相似三角形来源：家教◆课前热身1．如图，已知ABCDEF∥∥，那么下列结论正确的是（）A．ADBCDFCEB．BCDFCEADC．CDBCEFBED．CDADEFAF[来源:学科网]2.如图所示，给出下列条件：①BACD；②ADCACB；③ACABCDBC；④2ACADAB．其中单独能够判定ABCACD△∽△的个数为（）A．1B．2C．3D．43.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1[来源:学,科,网Z,X,X,K]4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个【参考答案】1.A2.CABDCEF1题ACDB（第2题图）3.B4.D◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．[来源:学.科.网]3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．◆备考兵法1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．[来源:学科网ZXXK]◆考点链接一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1.若DE∥BC（A型和X型）则______________．2.射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．EADCBEADCBADCB3.两个角对应相等的两个三角形__________．4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5.三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应边_________，对应角________．2.相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．◆典例精析例1（2009山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米．【答案】9.【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得1.5530x，解得9x，所以路灯甲的高为9米，故填9.例2（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．【答案】P1（1，4），P2（3，4）．点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．拓展变式在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．【答案】3甲小华乙例3如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③B．③C．①D．①②【答案】B【解析】∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，但本题还有一对相似三角形是△ABC≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的．∵12AEEFCDDF，∴②EF：ED=1：2是错的．∴S△AEF：S△CDF=1：4，S△AEF：S△ADF=1：2．[来源:学科网]∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C◆迎考精练一、选择题1.（2009年江苏省）如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格2.（2009年浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个3.（2009年浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）[来源:学科网]A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形4.(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm5.（2009年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米6.（2009年甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移DBCANMO动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m7.（2009年天津市）在ABC△和DEF△中，22ABDEACDFAD，，，如果ABC△的周长是16，面积是12，那么DEF△的周长、面积依次为（）A．8，3B．8，6C．4，3D．４，6二、填空题1.(2009年山东滨州)在平面直角坐标系中，ABC△顶点A的坐标为(23)，，若以原点O为位似中心，画ABC△的位似图形ABC△，使ABC△与ABC△的相似比等于12，则点A的坐标为．2.(2009年黑龙江牡丹江)如图，RtABC△中，90ACB°，直线EFBD∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若13AEGEBCGSS△四边形，则CFAD．[来源:学§科§网]3.（2009年湖北孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．4.（2009年山东日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边ACAEFDGCB第2题上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．5.（2009年福建莆田）如图，AB、两处被池塘隔开，为了测量AB、两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接ACBC、，并分别取线段ACBC、的中点EF、，测得EF=20m，则AB=__________m．三、解答题1.（2009年湖南郴州）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求ADAB的值，（2）求BC的长2.（2009年湖南常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．3.(2009年湖北武汉)如图1，在RtABC△中，90BAC°，ADBC⊥于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB⊥交BC边于点E．AECFB第5题图E（第4题图）AB′CFBACBDE（1）求证：ABFCOE△∽△；（2）当O为AC边中点，2ACAB时，如图2，求OFOE的值；（3）当O为AC边中点，ACnAB时，请直接写出OFOE的值．4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．BBAACOEDDECOF图1图2FABMFGDEC第4题图5.（2009年吉林省）如图，⊙O中，弦ABCD、相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DFAD，连接BC、BF．（1）求证：CBEAFB△∽△；（2）当58BEFB时，求CBAD的值6.(2009年广东梅州)如图，梯形ABCD中，ABCD∥，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：CDFBGF△∽△；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD∥交AD于点E，若6cm4cmABEF，，求CD的长．第5题图OFDAEBCDCFEABG6题【参考答案】选择题1.D2.B3.C4.A[来源:学科网]5.B6.A7.A填空题1.（4，6）2.123.1444.712或2;[来源:学.科.网]5.40解答题1.解：（1）∵48ADDB==，∴4812ABADDB=+=+=∴41123ADAB==（2）∵DEBC∥，所以ADEABC△∽△∴DEADBCAB=∵3DE=[来源:Z+xx+k.Com]∴313BC=∴9BC=2.△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90o，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90o，∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE～△ADC．3.解：（1）ADBC⊥，90DACC°．90BACBAFC°，．90OEOBBOACOE⊥，°，90BOAABF°，ABFCOE．ABFCOE△∽△；（2）解法一：作OGAC⊥，交AD的延长线于G．2ACAB，O是AC边的中点，ABOCOA．由（1）有ABFCOE△∽△，ABFCOE△≌△，BFOE．90BADDAC°，90DABABDDACABD°，，又90BACAOG°，ABOA．ABCOAG△≌△，2O