2012年中考数学复习训练44分类讨论型问题

2012年中考数学复习训练44分类讨论型问题一、选择题1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是()A．(4,0)B．(1,0)C．(－22，0)D．(2,0)答案B解析当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－22，0)时，OP＝OA＝22；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)．2．若函数y＝x2＋2x≤2，2xx＞2，则当函数值y＝8时，自变量x的值是()A．±6B．4C．±6或4D．4或－6答案D解析当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±6(舍去6)；当x2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－6或x＝4.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是()A．(8,4)B．(8,4)或(－3,4)C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或－76，4答案D解析∵点A的坐标为(3,4)，∴OA＝32＋42＝5.当AP＝AO时，可知P1(－2,4)，P2(8,4)，当OP＝OA时，可知P3(－3,4)，当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.有(m－3)2＋42＝m2，m＝256，∴m－3＝76，P4－76，4，故选D.4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？()A．4B．12C．4或12D．6或8答案C解析如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(m,1)，则k的值是()A．－2或2B．－22或22C.22D.2答案B解析A(m,1)代入y＝kx中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝12，所以k＝±22.二、填空题6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．答案70°，70°，40°或55°，55°，70°解析当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．答案4解析当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．答案11或13解析当0t≤12时，点P在AB上，2(t＋3)＝12＋3＋(12－t)，t＝11；当12t24时，点P在AC上，2[3＋(24－t)]＝3＋12＋t，解得t＝13.9．(2010·上海)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．答案1或5解析题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C＝1；旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5.10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．答案3或113或11或13解析两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝113；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.所以，点A出发后3秒或113秒或11秒或13秒两圆相切．三、解答题11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．解∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4.当∠BFE＝90°时，∵F是BC中点，∴BF＝12×2＝1.在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2.又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1.当∠BEF＝90°时，在Rt△BEF时，BE＝12BF＝12，∴AE＝4－12＝312，∴2t＝312，t＝1.75.同样，当t＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF＝90°.综上，t＝1或1.75或2.25.12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．解(1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，得4a＋k＝2，9a＋k＝2，解得a＝0，∴与条件a＞0不符，∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．(2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)，∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E；⑤B、C、D；⑥B、D、E.将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．解法二：抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则a＋k＝－1，4a＋k＝2，解得a＝1，k＝－2.②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：a＝38，k＝－118.综上，a和k的值为a＝1，k＝－2或a＝38，k＝－118.13．(2011·贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)为端点的线段中点坐标为(x1＋x22，y1＋y22)．【运用】(1)如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为__________；(2)在直角坐标系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．解(1)∵四边形ONEF是矩形，∴点M是OE的中点．∵O(0,0)，E(4,3)，∴点M的坐标为(2，32)．(2)设点D的坐标为(x，y)．若以AB为对角线，AC、BC为邻边构成平行四边形，则AB、CD的中点重合，∴1＋x2＝－1＋32，4＋y2＝2＋12，解得，x＝1，y＝－1.若以BC为对角线，AB、AC为邻边构成平行四边形，则AD、BC的中点重合，∴－1＋x2＝1＋32，2＋y2＝4＋12，解得，x＝5，y＝3.若以AC为对角线，AB、BC为邻边构成平行四边形，则BD、AC的中点重合，∴3＋x2＝－1＋12，1＋y2＝2＋42，解得，x＝－3，y＝5.综上可知，点D的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．