2010年线性代数试题及答案

浙02198#线性代数试卷第1页（共54页）全国2010年1月高等教育自学考试《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设行列式1111034222,1111304zyxzyx则行列式（）A.32B.1C.2D.382.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（）A.A-1B-1C-1B.C-1B-1A-1C.C-1A-1B-1D.A-1C-1B-13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（）A.-32B.-4C.4D.324.设α1，α2，α3，α4是三维实向量，则（）A.α1，α2，α3，α4一定线性无关B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出C.α1，α2，α3，α4一定线性相关D.α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）A.1B.2C.3D.46.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（）A.m≥nB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解浙02198#线性代数试卷第2页（共54页）C.r（A）=mD.Ax=0存在基础解系8.设矩阵A=496375254，则以下向量中是A的特征向量的是（）A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A=111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3=（）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f（x1，x2，x3）=233222312121912464xxxxxxxxx的矩阵为（）A.963642321B.963640341C.960642621D.9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式1376954321=_________.12.设A=1100120000120025，则A-1=_________.13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.浙02198#线性代数试卷第3页（共54页）17.设线性方程组211111111321xxxaaa有无穷多个解，则a=_________.18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.20.二次型323121232232184434),,(xxxxxxxxxxxf的秩为_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算4阶行列式D=8765765465435432.22.设A=375254132，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知2阶行列式2211baba=m,2211cbcb=n,则222111cabcab=（）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）2.设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A.-8B.-2C.2D.8浙02198#线性代数试卷第4页（共54页）4.已知A=333231232221131211aaaaaaaaa，B=333231232221131211333aaaaaaaaa，P=100030001，Q=100013001，则B=（）A.PAB.APC.QAD.AQ5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误．．的是（）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）=212322212xxxxx的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式2010200820092007的值为_________________________.12.设矩阵A=102311,B=1002,则ATB=____________________________.13.设4维向量（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2γ=3β，则γ=__________.14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=n1,则|A-1|=___________________________.15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.16.齐次线性方程组0320321321xxxxxx的基础解系所含解向量的个数为________________.17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵1231A必有一个特征值为_____________.浙02198#线性代数试卷第5页（共54页）18.设矩阵A=00202221x的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.19.已知A=100021021ba是正交矩阵，则a+b=_______________________________。20.二次型f（x1,x2,x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D=333222ccbbaacbacba的值。22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。23.设向量组,,,,T4T3T2T1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24.已知矩阵A=100210321，B=315241.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。25.问a为何值时，线性方程组63222243232132321xxxaxxxxx有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。26.设矩阵A=3030002aa的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=500020001。浙02198#线性代数试卷第6页（共54页）四、证明题（本题6分）27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（）A.-12B.-6C.6D.122．计算行列式32320200051020203（）A.-180B.-120C.120D.1803．设A=4321，则|2A*|=（）A.-8B.-4C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（）A．2B3C．4D．56．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（）A．A与B相似B．|A|=|B|C．A与B等价D．A与B合同7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（）A．0B．2C．3D．248．若A、B相似，则下列说法错误．．的是（）A．A与B等价B．A与B合同C．|A|=|B|D．A与B有相同特征9．若向量α=(1，-2，1)与β=(2，3，t)正交，则t=（）A．-2B．0C．2D．410．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1l.设A=421023,B=010112，则AB=________.12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.13．三元方程x1+x2+x3=0的结构解是________.14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．