2012年丽水市中考数学试题

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源2012年丽水市中考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作【】A．－3℃B．－2℃C．＋3℃D．＋2℃2．计算3a·2b的结果是【】A．3abB．6aC．6abD．5ab3．如图，数轴的单位长度为1，若点A、B表示的数的绝对值相等，则点A表示的数是【】A．－4B．－2C．0D．44．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以【】A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)5．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A．①B．②C．③D．④6．分别写有数字0，－1，－2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是【】A．15B．25C．35D．457．如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是【】A．120°B．135°C．150°D．160°8．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有【】A．12B．48C．72D．969．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【】A．①B．②C．⑤D．⑥10．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010B．2012C．2014D．2016二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．写出一个比－3大的无理数是．12．分解因式：2x2－8＝．第3题图第5题图第7题图第8题图第9题图第10题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源13．半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．14．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．16．如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．(1)当点E是AB的中点时，DF＝；(2)若射线EF经过点C，则AE＝．三、解答题（共8小题，满分66分）17．计算：2sin60°＋|－3|－12－131．18．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2．19．学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12m．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即为CD与BC的长度之比)．A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．20．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．21．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．第14题图第15题图第16题图第19题图第20题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．22．小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；(2)求小明的综合得分是多少？(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？23．在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为－12时，①求点B的坐标；②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A、B、C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．24．在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝35．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝10343，AC与y轴交于点E．第21题图第1题图第22题图第23题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P、Q，是否存在以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源2012年丽水市中考数学试题参考答案一、1．A2．C3．B4．D5．B6．B7．C8．C9．A10．D二、11．答案不唯一,如12．2(x＋2)(x－2)13．114．15.50°16．(1)6(2)2或5三、17．解：原式＝2×＋3－－3＝－．18．解：A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy．19．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12×＝.∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝BC＝.∴AD＝AC－CD＝6－．答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－)米．20．(1)证明：连接OD.∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH.∴BD平分∠ABH．(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，在Rt△OBG中，OG＝＝＝．21．解：(1)过点C作CG⊥OA于点G.∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°.∴OG＝1，CG＝.∴点C的坐标是(1，).由＝，得k＝，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝.(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a．第20题图第21题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源∴点D的坐标为(4＋a，).∵点D是双曲线y＝上的点，由xy＝，得(4＋a)＝，即a2＋4a－1＝0，解得a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，∴AD＝2AH＝2－4.∴等边△AEF的边长是2AD＝4－8．22．解：(1)小明演讲答辩分数的众数是94分，民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是：(1－10%－70%)×360°＝72°．(2)演讲答辩分：(95＋94＋92＋90＋94)÷5＝93，民主测评分：50×70%×2＋50×20%×1＝80，所以，小明的综合得分：93×0.4＋80×0.6＝85.2．(3)设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得：82×0.6＋0.4x≥85.2，解得：x≥90．答：小亮的演讲答辩得分至少要90分．23．解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵矩形AOBC是正方形，∴∠AOC＝45°.∴∠AOD＝90°－45°＝45°.∴△AOD是等腰直角三角形.设点A的坐标为(－a，a)(a≠0)，则(－a)2＝a，解得a1＝－1，a2＝0(舍去)，∴点A的坐标－a＝－1.(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F.当x＝－时，y＝(－)2＝，即OE＝，AE＝.∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠EAO＝∠BOF.又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB.∴＝＝＝.设OF＝t，则BF＝2t.∴t2＝2t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，∴点B(2，4).②过点C作CG⊥BF于点G.∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG.在△AEO和△BGC中，，∴△AEO≌△BGC(AAS).∴CG＝OE＝，BG＝AE＝.第23题图(1)(2)学习方法报社全新课标理念，优质课程资源∴xc＝2－＝，yc＝4＋＝.∴点C(，).设过A(－，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为y＝－x2＋bx＋c，由题意得，，解得，∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2.当x＝时，y＝－()2＋3×＋2＝，所以点C也在此抛物线上，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋．平移方案：先将抛物线y＝－x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y＝－(x－)2＋．24．解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝＝，∴点E(0，2)．设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝．∴直线AC的函数解析式为y＝．(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝，设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，∴，得t＝2，故EG＝6，OG＝10，∴S△OEG＝．(3)存在．①当点Q在AC上时，点Q即为点G,如图，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时，y＝－＝，∴点P1(10，)．②当点Q在AB上时，如图，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，则BH＝QH＝14－a.在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，解得a1＝6，a2＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)．连接QF交OP2于点M．当Q(－6，8)时，则点M(2，4);当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．第24(3)①题图第24(3)②题图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2．∴y＝2x．解方程组，得．∴P2().当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P2′()．综上所述，满足条件的P点坐标为(10，)或()或()．