2012-2013年高等代数1(A)卷

1装订线2012学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设,AB为n阶方阵，下列运算正确的是（）(A)121212ABAB(B)AA(C）22ABABAB(D)若A可逆，则1111212AA2、设A是56矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组0AX（）(A)基础解系恰有5个解向量(B)基础解系恰有6个解向量(C)基础解系恰有1个解向量(D)只有零解3、若矩阵nmA的秩为r，则下列结论正确的是（）(A)A的任何级数不超过r的子式都不等于零(B)A的任何级数不超过r的子式都等于零(C)A的任何级数大于r的子式都不等于零(D)A的任何级数大于r的子式都等于零4、设12,,,r是n维列向量，则12,,,r线性无关的充要条件是（）(A)向量组12,,,r中任意两个向量线性无关(B)存在一组不全为0的数12,,,rccc，使得11220rrccc(C)向量组12,,,r中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D)向量组12,,,r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5、设,AB都是n阶正定矩阵，则下列结论正确的是（）(A)AB是正定矩阵(B)AB是正定矩阵(C)AB是可逆矩阵(D)AB是实对称矩阵二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设()fx和()gx是两个多项式,若,1fxgx，则,()fxgxfx；22、六阶行列式中，561234234165aaaaaa这一项该带号；3、设A为三阶方阵，*A为A的伴随矩阵，且有2A，则11(3)*2AA；4、设1231,1,2,1,0,0,1,4,k的一个极大线性无关组是13,，则k；5、若二次型2221231231223,,22fxxxxxxxxtxx是正定的，则t满足条件：。三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、,AB均为n阶复对称矩阵，则,AB合同的充要条件是()()AB秩秩；（）2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n；（）3、,AB均为矩阵，若0AB，则0A或者0B；（）4、如果向量组12,,,r线性相关，则每个i都可以表示为其余向量的线性组合；（）5、若多项式()fx和()gx的最大公因式唯一，则()()0fxgx。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）1、设100*021011A，又0A，求矩阵A以及它的逆矩阵1A。3装订线2、求n阶行列式1112112112112111nnnn的值。43、讨论取何值时，线性方程组2123123123(1)0(1)(1)xxxxxxxxx(1)有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。4、设有二次型222123123121323,,2224fxxxxxxxxxxxx（1）写出二次型f的矩阵A；（2）把二次型123,,fxxx经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。5装订线五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、证明：如果,AB均是正定矩阵，则00AB也是正定矩阵。2、设A和B是两个同型矩阵，证明：秩()AB秩()A+秩()B。3、用f代表()fx，g代表()gx，设(,)1,(,1,2)ijfgij，证明：11221212,,(,)fgfgffgg64、向量组12,,,r线性相关的充要条件是至少有一个向量(1)iir可以被它前面的121,,,i线性表示。