2012-2015高等代数A卷

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第1页共7页淮北师范大学2012年招收硕士研究生考题（A）招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论考试科目：高等代数说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、简答题（每题9分，共54分）1、若323121xxfxfxx，证明：121,1xfxxfx.2、已知向量组12,,,n线性无关，向量组12,,,,n线性相关，证明：可由向量组12,,,n唯一线性表出.3、已知等价的向量组秩相等，问秩相等的向量组是否等价？举例说明.4、设3级矩阵A的行列式值是-2，计算1*2AA.5、设2级矩阵A的特征多项式为21021f，计算1A的特征多项式.6、设A是n级矩阵，若1rAn，且12,是方程组0AX的两个不同的解，求齐次线性方程组0AX的通解.二、（12分）证明：多项式!!212pxxxxfp在有理数域上不可约，其中p是一个素数.三、（12分）计算n级行列式72000007200057200057nD---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第2页共7页四、（12分）设,AB是两个n级实对称矩阵，且B是正定矩阵，证明：存在n级实可逆矩阵T，使TTAT与TTBT同时为对角形.五、（14分）设BA,为n级矩阵，满足22BA，但||||BA。证明：（1）A为可逆矩阵；（2）BA不是可逆矩阵.六、（15分）设ijAa是mn矩阵（mn），已知齐次线性方程组0AX的基础解系为12,,,(1,2,,)Tiiiinbbbinm。试求齐次线性方程组10(1,2,,)nijjjbyinm的基础解系，并说明理由.七、（15分）设s,,,21为n维线性空间V的线性变换，是V的恒等变换，满足（1）s21；（2）ii2；（3）0jiij.证明：)()()(21VVVVs.八、（16分）设211367233A,求（1)A的不变因子、初等因子；（2)A的若当标准形、有理标准形；（3）A是否可对角化？并说明理由.淮北师范大学2013年硕士研究生入学考试试题(A)科目名称：高等代数科目代码：821适用专业：数学(一级学科)说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第3页共7页一、计算行列式的和nnnnjjjnjnjnjjjjjjjaaaaaaaaa21212121222111，其中的是对n个数字n,2,1的!n个排列求和.（15分）二、计算n阶行列式nnnnnnxxxxxxxxxD213323122221111（20分）三、设向量可由向量组12,,,r线性表示，但不能由向量组121,,,r线性表示.证明：1）r不能由向量组121,,,r线性表示；（10分）2）r能由向量组,,,121r线性表示.（10分）四、设齐次线性方程组000,122,111,122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系数矩阵为A，jM是矩阵A中划去第j列后所得到的行列式，证明：如果),,2,1(njMj不全为零，则))1(,,,(121nnMMM是方程组的基础解系.（20分）五、已知矩阵A满足矩阵方程EBAABA128)21(1***，其中*A表示A的伴随矩阵，111111111A，求矩阵B.（20分）六、设矩阵211,111111aaaA，已知线性方程组Ax有解但不唯一.（1）求a的值;（2）求正交矩阵Q，使AQQT为对角矩阵.（20分）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第4页共7页七、证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.（20分）八、设n阶方阵)(ijaA的全部特征值为n,,21.证明：ninjjiijniiaa1112（15分）2014年硕士研究生入学考试试题（Ａ）科目名称：高等代数科目代码：821注：答案必须写在答题纸上，写在本试题纸上的无效！--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、设为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，求矩阵TE的秩.(15分)二、已知1001110101aaA，二次型xAAxxxxfTT)(),,(321的秩为2.（1）求实数a的值；(5分)（2）求正交变换Qyx将二次型f化为标准型.(15分)三、设)(ijaA是3阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若)3,2,1,(0jiAaijij，求A.(15分)四、设向量组TTT)5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321不能由---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第5页共7页TTTa),4,3(,)321(,)1,1,1(321，，线性表示.（1）求a的值；(5分)（2）将321,,用321,,线性表示.(15分)五、证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为1或者-1.(20分)六、计算行列式D0000000002121215432154321eeddccbbbbbaaaaa(20分)七、若多项式)(|)(nxfxf，则)(xf的根只能是零或者是单位根.(20分)八、设n阶方阵22,BBAA,且BAAB.证明：存在可逆矩阵P,使得APP1与BPP1都为对角矩阵，且主对角线上的元素为0或者1.(20分)2015年硕士研究生入学考试试题（Ａ）科目名称：高等代数科目代码：821注：答案必须写在答题纸上，写在本试题纸上的无效！--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、用四种方法求矩阵122212221A的逆矩阵.(20分)二、设A为n阶方阵，对于齐次线性方程组0Ax，（1）若A中每行元素之和均为零，且1)(nAr，求方程组的通解.（5分）（2）若1)(nAr，且代数余子式011A，分别求方程组0Ax的通解，0*xA的通---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第6页共7页解，0)(**xA的通解.（15分）三、设A为n阶方阵.证明：若EA2,则nEArEAr)()(.(20分)四、设)(xf与)(xg为两个不全为零的多项式，n是任意一个正整数.证明))(),(())(),((xgxfxgxfnnn.(15分)五、（1）设n阶方阵A的秩为r.证明：存在秩为rn的方阵B使得0AB.(10分)（2）设A为秩为r的n阶方阵.证明：存在秩为rn的n阶方阵B与C，使得0CAAB.(10分)六、设m,,21及为1m个向量，且m21，1m.证明：向量组m,,,21线性无关的充要条件是m,,21线性无关.(20分)七、设t,,,21是某一非齐次线性方程组的解.证明：ttuuu2211也是该非齐次线性方程组的一个解的充要条件是121tuuu.(20分)八、证明一个实二次型可以分成两个实系数一次齐次多项式乘积的充要条件是，它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1.（15分）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸第7页共7页